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Un plan projectif d'ordre 2018 ?
1 janvier 2018 à 0h03
Pour fêter cette nouvelle année, un nouveau chapitre de géométrie, sur les rapports anharmoniques, vient d'être mis en ligne ! Il y est aussi fait mention du plan projectif réel, qui peut être vu comme le plan euclidien habituel auquel on ajoute des "points à l'infini" et une "droite à l'infini". La notion de plan projectif peut en fait être définie de manière totalement combinatoire, et le plan projectif réel dont nous parlons dans le chapitre est alors un exemple de plan projectif. C'est de cette notion combinatoire, très simple à comprendre et menant pourtant rapidement à une conjecture non-résolue, que nous parlons ci-dessous.

Définition

Un plan projectif est la donnée d'un ensemble $\mathcal{P}$ (dont les éléments sont appelés points), d'un ensemble $\mathcal{L}$ (dont les éléments sont appelés droites) et d'un sous-ensemble $R \subseteq \mathcal{P} \times \mathcal{L}$ satisfaisant les trois propriétés ci-dessous. On dit que la droite $\ell \in \mathcal{L}$ passe par le point $p \in \mathcal{P}$ (et que $p$ appartient à $\ell$) lorsque $(p,\ell) \in R$. L'ensemble $R$ encode donc quels points se situent sur quelles droites.
  1. Pour tous points $p_1 \neq p_2 \in \mathcal{P}$, il existe une unique droite $\ell \in \mathcal{L}$ passant par $p_1$ et $p_2$.
  2. Pour toutes droites $\ell_1 \neq \ell_2 \in \mathcal{L}$, il existe un unique point $p \in \mathcal{P}$ appartenant à $\ell_1$ et $\ell_2$.
  3. Il existe quatre points trois à trois non alignés (c'est-à-dire tels qu'aucune droite ne passe par trois d'entre eux).
Les propriétés les plus importantes sont les deux premières. La troisième est là pour éviter les cas triviaux. Par exemple, on peut imaginer une seule droite ($|\mathcal{L}| = 1$) et $n$ points ($|\mathcal{P}| = n$) appartenant tous à la droite ($R = \mathcal{P} \times \mathcal{L}$). Cet exemple vérifie les propriétés 1 et 2, mais on ne veut pas le considérer comme étant un plan projectif. C'est pour éviter ce genre de situation que la propriété 3 demande d'avoir au moins quatre points trois à trois non-alignés.

Plans projectifs finis

Le plan projectif réel, défini dans le nouveau chapitre, est infini au sens où il possède une infinité de points et une infinité de droites. Au contraire, nous nous intéressons ici aux plans projectifs finis, c'est-à-dire ceux où $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont finis. (À noter que si $\mathcal{P}$ est fini, alors $\mathcal{L}$ aussi, et vice versa.) En utilisant les axiomes des plans projectifs, on peut aisément montrer le fait suivant. (Pour ceux qui le désirent, c'est un bon exercice !)

Soit $\Pi = (\mathcal{P}, \mathcal{L}, R)$ un plan projectif fini. Alors il existe un nombre entier $q \geq 2$, appelé l'ordre de $\Pi$, tel que :
  • tout point de $\Pi$ appartient à exactement $q+1$ droites;
  • toute droite de $\Pi$ passe par exactement $q+1$ points;
  • $\Pi$ contient exactement $|\mathcal{P}| = q^2+q+1$ points;
  • $\Pi$ contient exactement $|\mathcal{L}| = q^2+q+1$ droites.
Il existe par exemple un plan projectif d'ordre $2$, il est représenté ci-dessous. Les $2^2+2+1=7$ points du plan projectif sont représentés par des points, et les $2^2+2+1$ droites sont représentées par des segments et courbes : ce sont les trois côtés du triangle, les trois hauteurs du triangle, et le cercle. On voit aussi que chaque point appartient à $2+1=3$ droites et chaque droite passe par $2+1=3$ points. On vérifie aisément que deux points appartiennent toujours à une même droite (unique) et que deux droites s'intersectent toujours en un unique point. Il s'agit donc bel et bien d'un plan projectif d'ordre $2$. (En fait, c'est le seul...)


Jeu Dobble

Le jeu Dobble est bien connu, et derrière ce jeu se cache en fait un plan projectif ! En effet, le jeu consiste en différentes cartes sur lesquelles sont dessinés $8$ symboles, et est tel que deux cartes possèdent toujours un unique symbole commun. On y voit facilement l'analogie avec les plans projectifs : les cartes peuvent être vues comme des droites, et les symboles comme des points. Il existe un plan projectif d'ordre $7$, ce qui signifie qu'on peu construire un jeu de $7^2+7+1=57$ cartes contenant chacune $7+1=8$ symboles (parmi $57$ symboles au total) tel que deux cartes ont toujours un unique symbole en commun. Par la propriété des plans projectifs, on sait aussi que pour toute paire de symboles, il existe une unique carte contenant ceux-ci (mais ça n'a pas d'intérêt pour le jeu). Malheureusement le vrai jeu Dobble n'est pas totalement satisfaisant, puisqu'il contient bien $57$ symboles mais ne contient que $55$ cartes ! Il y a donc deux cartes manquantes au jeu pour qu'il soit réellement un plan projectif d'ordre $7$. Si vous avez un jeu Dobble chez vous et un peu de temps à perdre, vous pouvez vous amuser à recomposer les deux cartes manquantes (en trouvant les symboles qu'elles doivent contenir).

Conjecture

La conjecture suivante est très ancienne, très facile à exprimer et il y a pourtant très peu de progrès dessus :

Conjecture : Soit $\Pi$ un plan projectif d'ordre $q$. Alors $q$ est la puissance d'un nombre premier.

Il a pu être vérifié qu'il n'existe aucun plan projectif d'ordre $6$ ou d'ordre $10$, mais on ne sait par exemple pas s'il existe un plan projectif d'ordre $12$ ! Autrement dit, on ignore s'il existe un jeu Dobble avec $12^2+12+1=157$ cartes et $157$ symboles, où chaque carte contient $12+1=13$ symboles et deux cartes ont toujours un unique symbole en commun. (Il n'est pas nécessaire ici de demander les propriétés 1 et 3 des plans projectifs : ce sont en fait des conséquences des hypothèses précédentes.)

La seule réponse partielle à cette conjecture est la suivante :

Théorème de Bruck-Ryser (1949) : S'il existe un plan projectif d'ordre $q$ avec $q \equiv 1 \text{ ou } 2 \pmod 4$, alors $q$ est la somme de deux carrés parfaits.

Ce théorème exclut par exemple les plans projectifs d'ordre $14$. Notez par contre que $2018 = 13^2+43^2$, donc le théorème ne s'applique pas à $q = 2018$. La question en titre de cette actualité n'a donc pas de réponse à ce jour : on ignore s'il existe un plan projectif d'ordre $2018$.

Que ceux que ça intéresse n'hésitent pas à plancher sur la conjecture et à remercier Mathraining au moment de la remise de la médaille Fields ! Bonne année 2018 !
Résultats de l'IMO 2017
1 août 2017 à 10h26
Les Olympiades Mathématiques Internationales (IMO en anglais) ont eu lieu du 16 au 23 juillet 2017 !

Rappelons que l'épreuve se déroule sur deux matinées : deux fois 4h30, et que les étudiants sont confrontés à trois problèmes chaque jour. Les premiers problèmes de chaque jour (P1/P4) sont supposés être plus simples que les deuxièmes problèmes (P2/P5), eux-mêmes étant plus simples que les derniers problèmes (P3/P6). Les problèmes de cette année peuvent être trouvés ici. Les quatre problèmes les plus difficiles (P2/P3/P5/P6) l'étaient particulièrement cette année, avec la palme pour le problème 3 qui n'a été résolu que par deux élèves sur 615 !

Environ un douzième des élèves remporte une médaille d'or, un sixième une médaille d'argent et un quart une médaille de bronze, ce qui signifie que la moitié des participants sont récompensés d'une médaille ($\frac 1{12}+\frac1 6 + \frac 1 4 = \frac1 2$). Chaque problème vaut $7$ points, et tout élève n'ayant pas obtenu de médaille mais avec une résolution parfaite à un problème obtient une mention honorable. Cette année il fallait 25 points pour obtenir une médaille d'or, 19 pour une médaille d'argent et 16 pour une médaille de bronze.

Les résultats belges sont les suivants.

\begin{array}{l|ccc|ccc|c|c}
& \text{P1} & \text{P2} & \text{P3} & \text{P4} & \text{P5} & \text{P6} & \text{Total} & \\
\hline
\text{Savinien Kreczman} & 7 & 7 & 0 & 6 & 0 & 0 & 20 & \text{Médaille d'argent} \\
\text{Rodrigue Haya Enriquez} & 7 & 2 & 0 & 7 & 0 & 1 & 17 & \text{Médaille de bronze} \\
\text{Indy Van Den Broeck} & 7 & 1 & 0 & 7 & 1 & 0 & 16 & \text{Médaille de bronze} \\
\text{Marie Peeters} & 7 & 3 & 0 & 2 & 2 & 0 & 14 & \text{Mention honorable} \\
\text{Michaël Maex} & 7 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 9 & \text{Mention honorable} \\
\text{Robbe Pincket} & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & \\
\hline
\text{Total} & 39 & 14 & 0 & 23 & 3 & 1 & 80
\end{array}

Voici également les résultats des étudiants inscrits sur Mathraining, qui ont participé à cette compétition sous un autre drapeau et qui ont rapporté au moins une mention. Merci à Damien Galant et Corentin Bodart de les avoir recensés.

\begin{array}{l|c|ccc|ccc|c|c}
& & \text{P1} & \text{P2} & \text{P3} & \text{P4} & \text{P5} & \text{P6} & \text{Total} & \\
\hline
\text{Baptiste Serraille} & \text{France} & 7 & 0 & 0 & 7 & 7 & 0 & 21 & \text{Médaille d'argent} \\
\text{Yakob Kahane} & \text{France} & 7 & 3 & 0 & 2 & 7 & 0 & 19 & \text{Médaille d'argent} \\
\text{Olivier Garçonnet} & \text{France} & 7 & 1 & 0 & 7 & 2 & 0 & 17 & \text{Médaille de bronze} \\
\text{Ilyes Hamdi} & \text{Algérie} & 7 & 3 & 0 & 7 & 0 & 0 & 17 & \text{Médaille de bronze} \\
\text{Joachim Studnia} & \text{France} & 7 & 3 & 0 & 7 & 0 & 0 & 17 & \text{Médalle de bronze} \\
\text{Martin Rakovsky} & \text{Luxembourg} & 6 & 1 & 0 & 7 & 2 & 0 & 16 & \text{Médaille de bronze} \\
\text{Abderrahim Hadj Brahim} & \text{Algérie} & 7 & 0 & 0 & 7 & 0 & 0 & 14 & \text{Mention honorable} \\
\text{Oliver Nick} & \text{Luxembourg} & 7 & 0 & 0 & 7 & 0 & 0 & 14 & \text{Mention honorable} \\
\text{Timothée Rocquet} & \text{France} & 6 & 1 & 0 & 7 & 0 & 0 & 14 & \text{Mention honorable} \\
\text{Mamoun Ben Chekroun} & \text{Maroc} & 7 & 3 & 0 & 3 & 0 & 0 & 13 & \text{Mention honorable} \\
\text{Ilyas Lebleu} & \text{France} & 7 & 3 & 0 & 2 & 0 & 0 & 12 & \text{Mention honorable} \\
\text{Abdeldjalil Hezouat} & \text{Algérie} & 0 & 3 & 0 & 7 & 0 & 0 & 10 & \text{Mention honorable} \\
\end{array}

Tous les résultats (et plein de statistiques, sur cette olympiade comme sur les précédentes) peuvent être trouvés sur le site officiel.

Félicitations à tout le monde ! Nous espérons que Mathraining pourra entraîner encore beaucoup d'étudiants pour l'IMO 2018 en Roumanie !

Graphique des corrections
28 juin 2017 à 15h30
Avant-hier, 100 étudiants différents se sont connectés sur le site !

Pour fêter cela, un nouveau graphique a été mis en place et permet de voir le nombre de solutions soumises dans le dernier mois. Celui-ci indique également combien parmi ces solutions étaient correctes/incorrectes, et combien doivent encore être corrigées par les correcteurs.

Pour ceux qui attendent avec impatience qu'une de leur solution soit corrigée, cette information permettra de savoir à peu près à quoi ressemble la "file d'attente" des soumissions en attente d'une correction.

Ce graphique se trouve sur la page Statistiques > Corrections (et on y retrouve aussi les noms des gentils correcteurs).

Le graphique ressemble aujourd'hui à ceci :

Résultats belges à l'IMO 2016
14 juillet 2016 à 12h01
Voici les résultats de nos étudiants à la $57^{\text{ème}}$ Olympiade Internationale de Mathématiques qui a eu lieu à Hong-Kong en juillet 2016.

Rappelons que la compétition a lieu sur deux matinées (deux fois $4$ heures $30$), et que les élèves sont confrontés, chaque jour, à un problème "facile" (P1/P4), un problème "moyen" (P2/P5) et un problème "difficile" (P3/P6). Il faut bien sûr relativiser la difficulté, puisque même les problèmes les plus faciles sont d'un haut niveau comparés à ceux présentés sur ce site.

\begin{array}{l|ccc|ccc|c|c}
& \text{P1} & \text{P2} & \text{P3} & \text{P4} & \text{P5} & \text{P6} & \text{Total} & \\
\hline
\text{Damien Galant} & 7 & 1 & 0 & 7 & 2 & 0 & 17 & \text{Médaille de bronze} \\
\text{Rodrigue Haya Enriquez} & 4 & 0 & 0 & 4 & 2 & 1 & 11 & \\
\text{Savinien Kreczman} & 7 & 1 & 0 & 7 & 0 & 2 & 17 & \text{Médaille de bronze} \\
\text{Wouter Andriessen} & 4 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 8 & \\
\text{Samira Legrand} & 5 & 0 & 0 & 7 & 0 & 0 & 12 & \text{Mention honorable} \\
\text{Tim Santens} & 1 & 7 & 2 & 7 & 0 & 0 & 17 & \text{Médaille de bronze} \\
\hline
\text{Total} & 28 & 11 & 2 & 34 & 4 & 3 & 82
\end{array}
Aucun étudiant n'a démérité : félicitations à tous pour ces beaux résultats !

Sur un total possible de $42$ points, il en fallait $16$ pour rapporter une médaille de bronze, $22$ pour une médaille d'argent et $29$ pour une médaille d'or. À noter que $6$ étudiants ont obtenu le score maximal de $42/42$ : trois coréens, deux américains et un chinois.

Dans le classement officieux des pays, la Belgique termine $52^{\text{ème}}$ sur $108$, alors que ce sont les États-Unis qui l'emportent pour la deuxième année consécutive, devant la Corée du Sud et la Chine.

Le cap des 100.000 points !
20 avril 2016 à 19h35
Pour fêter les $100.000$ points distribués sur le site, un nouveau chapitre sur les transformations du plan a été mis en ligne. Il y est aussi question de la droite d'Euler et du cercle d'Euler d'un triangle, qui passent tous les deux par des points particuliers du triangle.

Cercle d'Euler

Comme démontré dans le point théorique à ce sujet, le cercle d'Euler d'un triangle $ABC$ passe par les milieux des trois côtés, les pieds des trois hauteurs, et les milieux des segments $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$, où $H$ est l'orthocentre du triangle.


En fait, ce cercle passe par de nombreux autres points particuliers du triangle, moins connus. Dans la suite de cet article, nous présentons un de ces points.

Points de Fermat

Étant donné un triangle $ABC$ (dont nous allons dorénavant supposer qu'il n'a pas d'angle de plus de $120^\circ$), son (premier) point de Fermat est le point $P$ du plan qui minimise la somme des distances aux sommets, à savoir $|PA| + |PB| + |PC|$. Il peut être démontré que ce point, noté $F_1$, s'obtient en construisant les trois triangles équilatéraux extérieurs $ABC'$, $BCA'$ et $CAB'$ et en prenant le point d'intersection des droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$. Pour voir que ces trois droites sont concourantes, on peut en fait plutôt définir $F_1$ comme l'intersection des cercles circonscrits aux triangles $ABC'$ et $BCA'$. Il vient alors directement que $F_1$ se situe sur le cercle circonscrit à $CAB'$ également et que les segments $[F_1A]$, $[F_1C']$, $[F_1B]$, $[F_1A']$, $[F_1C]$ et $[F_1B']$ forment des angles de $60^\circ$ entre eux. En particulier $F_1$ se trouve bien sur les trois droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$.


On aurait aussi pu construire les triangles équilatéraux vers l'intérieur du triangle, comme sur la figure suivante. Si on note ceux-ci $ABC''$, $BCA''$ et $CAB''$, alors on peut également montrer que les droites $AA''$, $BB''$ et $CC''$ sont concourantes et on appelle leur point d'intersection le deuxième point de Fermat $F_2$. Celui-ci ne peut par contre pas être caractérisé avec ses distances aux sommets comme $F_1$. À noter que le triangle doit être non équilatéral pour que cette construction ait un sens.



Milieu de $[F_1F_2]$

Si l'on construit le milieu $F$ du segment $[F_1F_2]$ reliant les deux points de Fermat, alors on peut s'apercevoir que $F$ se situe sur le cercle d'Euler du triangle !


Ce résultat est assez surprenant : les neufs points dont on sait qu'ils se situent sur le cercle d'Euler sont tous définis de manière asymétrique en privilégiant un sommet du triangle. Ce n'est par contre pas le cas de ce point $F$, qui est défini sans privilégier aucun sommet.

Le cercle d'Euler se révèle en fait assez mystérieux. Nous espérons que cet article vous aura émerveillé l'espace d'un instant et donné l'envie de reprendre l'étude de la géométrie du plan à plein temps !