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Manipulation d'inégalités

Lorsque l'on est en présence d'une inégalité du type
$$\left(\frac{x+y}{x^2+1}\right)^3 \leq \left( \frac{x-y}{x^2+1} \right)^3,$$ il est naturel de se demander comment elle peut être simplifiée. Peut-on appliquer la racine cubique des deux côtés de l'inégalité? Peut-on ensuite multiplier les deux membres par $x^2+1$? C'est à ces questions élémentaires que nous répondons ici.

Nous donnons en fait quelques résultats basiques concernant les inégalités permettant de les manipuler. Ceux-ci peuvent paraître élémentaires mais toute la difficulté réside dans leur utilisation. En effet, les nombres réels $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$ intervenant dans les prochaines inégalités seront dans la pratique remplacés par des expressions réelles plus complexes.

Combinaison de deux inégalités

Pour tous $a,b,c,d \in \mathbb{R}$,
\[ a \leq c \ \text{ et } \ b \leq d \Rightarrow a + b \leq c + d. \]

Il faut faire très attention au sens de l'implication.
En effet, si on sait que $a + b \leq c + d$ et que $a \leq c$, alors on ne peut pas forcément conclure que $b \leq d$. On a par exemple $1+4 \leq 3+3$ et $1 \leq 3$ alors que $4 \not \leq 3$.

Multiplication par un scalaire

Pour tous $a,b \in \mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{R}^+_0$,
\[ a \leq b \Leftrightarrow ak \leq bk. \]

Pour tous $a,b \in \mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{R}^-_0$,
\[ a \leq b \Leftrightarrow ak \geq bk. \]

La plupart du temps, on multiplie (à raison) les deux côtés d'une inégalité par un nombre positif. Il ne faut cependant pas oublier que si on la multiplie par un nombre négatif, l'inégalité s'inverse.

Application d'une fonction

Soit $f:A\to\mathbb{R}$ une fonction croissante sur $B \subseteq A$.
Pour tous $a,b \in B$,
\[ a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b). \] Si $f$ est strictement croissante, c'est un $\Leftrightarrow$.

Soit $f:A\to\mathbb{R}$ une fonction décroissante sur $B \subseteq A$.
Pour tous $a,b \in B$,
\[ a \leq b \Rightarrow f(a) \geq f(b). \] Si $f$ est strictement décroissante, c'est un $\Leftrightarrow$.

En général, lorsqu'on applique une transformation des deux côtés d'une inégalité, il faut vérifier que la fonction que l'on applique est croissante ou décroissante. D'ailleurs, on remarque que la fonction $f(x) = kx$ est strictement croissante pour $k > 0$ et strictement décroissante pour $k < 0$, ce qui fait de la multiplication par un scalaire un cas particulier des résultats précédents.

Le sens de l'implication est aussi très important ici. Si on veut prouver une inégalité $a \leq b$ et qu'on trouve que $f(a) \leq f(b)$, il faut la croissance stricte de $f$ pour pouvoir conclure. En effet, il se peut dans le cas contraire que $f$ soit constante sur un intervalle et qu'on ait $a > b$ avec $f(a) = f(b)$.

Retour à l'exemple

Considérons à nouveau l'inégalité
$$\left(\frac{x+y}{x^2+1}\right)^3 \leq \left( \frac{x-y}{x^2+1} \right)^3,$$ et regardons comment celle-ci peut-être simplifiée.

La fonction $f : x \mapsto x^3$ étant strictement croissante, on peut directement dire que cette inégalité est équivalente à
$$\frac{x+y}{x^2+1} \leq \frac{x-y}{x^2+1}.$$ Ensuite, vu qu'on a clairement $x^2+1 \geq 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, on peut multiplier les deux membres de cette dernière inégalité par $x^2+1$ sans que le sens de celle-ci soit inversé, pour obtenir
$$x+y \leq x-y.$$ Comme pour les égalités, on peut bien sûr faire passer les termes d'un membre à l'autre, et notre inégalité est finalement équivalente à
$$2y \leq 0.$$ On en déduit que l'inégalité de départ est vraie si et seulement si $y$ est négatif (et $x$ est quelconque).