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Principe

Les problèmes d'inégalités se ressemblent tous. L'énoncé typique d'un tel problème est le suivant.

Si $x$, $y$ et $z$ sont des nombres réels, tous différents de $1$ mais tels que $xyz=1$, alors montrer que
$$\frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{y^2}{(y-1)^2} + \frac{z^2}{(z-1)^2} \geq 1.$$

On doit donc généralement montrer une certaine inégalité contenant des variables sur lesquelles on a éventuellement des conditions (ici, $xyz=1$).

Pour résoudre une inégalité, il faut tout d'abord connaître des inégalités remarquables. Nous verrons tout au long de ce cours les inégalités de Cauchy-Schwarz, de Jensen, de Minkowski, de Tchebychev, et bien d'autres. Il s'agit ensuite d'utiliser certaines de ces inégalités pour montrer celle qui nous intéresse. Un problème ne consiste évidemment jamais à uniquement utiliser une inégalité remarquable : il faut souvent effectuer des changements de variables ou utiliser des astuces pour simplifier l'inégalité que l'on désire montrer.

Nous allons voir les différentes techniques qui permettent généralement de résoudre un tel problème. C'est ensuite comme toujours une question d'entraînement!