La logique s'intéresse à ce que l'on appelle des
propositions logiques et à leur véracité. Une proposition logique est simplement une affirmation qui peut-être vraie ou fausse, comme par exemple l'affirmation "$x+y$ est multiple de $4$". Cette affirmation est vraie pour les $x$ et $y$ tels que $x+y$ est multiple de $4$, mais fausse sinon. La logique permet notamment de comprendre ce qu'il se passe lorsque l'on combine plusieurs propositions logiques.
Une proposition peut en effet être construite à partir de sous-propositions et de connecteurs logiques tels que "ou", "et" et "non", que l'on note respectivement $\lor$, $\land$, $\lnot$. En logique, on définit ces connecteurs en expliquant les conditions sous lesquelles les propositions $P \lor Q$, $P \land Q$ et $\lnot P$ sont vraies. Par exemple, on va dire que $P \land Q$ est vrai exactement lorsque $P$ et $Q$ sont tous les deux vrais. On définit donc les symboles en donnant la valeur (vrai ou faux) de la proposition combinée pour chaque valeur possible des sous-propositions. On regroupe cela dans une
table de vérité dans laquelle $1$ signifie "vrai" et $0$ signifie "faux".
- Le connecteur $\lor$ représente la disjonction logique (le "ou" logique). $P \lor Q$ est vrai si et seulement si au moins un de $P$ et $Q$ est vrai. En language naturel, le "ou" exclut parfois que les deux soient vrais. Par exemple, quand on dit "Il faut choisir, tu fais $P$ ou tu fais $Q$", on veut dire qu'on ne peut pas faire les deux. En logique, ce n'est pas le cas, si $P$ et $Q$ sont vrais, alors $P \lor Q$ est vrai. Pour faire une disjonction logique en language naturel, on écrit d'ailleurs souvent "et/ou".
Le tableau de vérité correspondant vaut
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
P & Q & P \lor Q \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
\hline
0 & 1 & 1 \\
\hline
1 & 0 & 1 \\
\hline
1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}$$
- Le connecteur $\land$ représente la conjonction logique (le "et" logique) : $P \land Q$ est vrai si et seulement si $P$ et $Q$ sont tous les deux vrais. Le tableau de vérité correspondant vaut
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
P & Q & P \land Q \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
\hline
0 & 1 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0 \\
\hline
1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}$$
- Le connecteur $\lnot$ représente enfin la négation logique : $\lnot P$ est vrai si et seulement si $P$ est faux. Le tableau de vérité correspondant vaut
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
P & \lnot P \\
\hline
0 & 1 \\
\hline
1 & 0 \\
\hline
\end{array}$$