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Conditions nécessaires et suffisantes

Un des points souvent mal compris en mathématique est la différence cruciale entre une condition nécessaire et une condition suffisante. Il est intéressant de savoir que deux propositions sont liées mais dire quelle proposition implique laquelle est tout aussi important.

Définition

Si le fait que $P$ soit vrai implique que $Q$ est vrai, on dit que $P$ est une condition suffisante à la véracité de $Q$. En effet, il suffit que $P$ soit vrai pour que $Q$ soit vrai. S'il nous faut prouver que $Q$ est vrai, il nous suffit de prouver que $P$ est vrai. On écrit $P \Rightarrow Q$ ou $Q \Leftarrow P$.

On remarque aussi qu'il est nécessaire que $Q$ soit vrai pour que $P$ soit vrai. En effet, si $P$ est vrai, on sait que $Q$ est vrai aussi, et $P$ ne peut donc pas être vrai si $Q$ est faux. On dit alors que $Q$ est une condition nécessaire à la véracité de $P$.

Quand on utilise les formulations "si $P$, alors $Q$", "$P$ donc $Q$" ou encore "$P$. Par conséquent $Q$", on utilise le fait que $P \Rightarrow Q$ qui doit alors soit être évident, soit avoir été prouvé précédemment. Il ne faut donc surtout pas utiliser ces formulations à la légère dans une preuve : en mathématique, leur sens est très précis.

Exemple

Quand on dit "A minuit, je dors", on formule l'implication entre "$P$ : Il est minuit" et "$Q$ : Je dors". Le fait qu'il soit minuit est une condition suffisante pour me voir assoupi et le fait que je dorme est une condition nécessaire pour qu'il soit minuit. Par contre, on n'exclut pas que je puisse dormir à d'autres moments de la journée qu'à minuit.
Si par contre on dit "Quand je dors, il est minuit", cela devient $Q \Rightarrow P$. Cela signifie cette fois que je ne dors pas à d'autres moments qu'à minuit : à 23h59, je ne suis pas encore couché et à 00h01, je suis déjà debout. Par contre, il se peut que je ne dorme pas non plus à minuit.

Condition nécessaire et suffisante

Quand on a non seulement $P \Rightarrow Q$ mais aussi $Q \Rightarrow P$, on dit que $P$ est une condition nécessaire et suffisante à la véracité de $Q$ (et vice versa) ou plus couramment, $P$ est vrai si et seulement si $Q$ est vrai. On note cela $P \Leftrightarrow Q$ et on utilise des formulations avec les mots de la famille d'équivalence comme dans "$P$, ce qui est équivalent à $Q$".

En pratique, pour prouver que $P \Leftrightarrow Q$, on prouve séparément que $P \Rightarrow Q$ et que $Q \Rightarrow P$.

Définition du point de vue de la logique

L'affirmation $P \Rightarrow Q$ est aussi une proposition composée d'un connecteur logique $\Rightarrow$ et de deux sous-propositions $P$ et $Q$. Cette nouvelle proposition peut être vraie ou fausse en fonction des valeurs de $P$ et $Q$. Il est cependant moins évident de donner le tableau de vérité de $\Rightarrow$ que pour $\lor$ ou $\land$. Pour bien le comprendre, il faut se demander "Si j'observe une situation où $P$ est vrai/faux et $Q$ est vrai/faux, que puis-je en déduire de la proposition $P \Rightarrow Q$ ?" Si ces valeurs de $P$ et $Q$ ne contredisent pas que $P$ puisse impliquer $Q$, alors on dira que $P \Rightarrow Q$ est vrai dans ce cas.

Ainsi, si $P$ et $Q$ sont tous les deux vrais, alors $P$ peut bel et bien impliquer $Q$, d'où $P \Rightarrow Q$ est défini comme étant vrai dans ce cas. Si par contre, $P$ est vrai mais $Q$ est faux, alors il s'agit justement d'une contradiction au fait que $P$ implique $Q$ : on définit $P \Rightarrow Q$ comme étant faux.

Les cas où $P$ est faux est un peu moins évident. En fait, si $P$ est faux, alors quelle que soit la valeur de $Q$ la proposition $P \Rightarrow Q$ sera vraie. En effet, puisque $P$ est faux, on a aucune contradiction avec le fait que $P$ implique $Q$ (qui nous dit basiquement "si $P$ est vrai, alors $Q$ est vrai").

Pour bien comprendre ce phénomène, on peut observer l'exemple "$P$ : Il pleut" et "$Q$ : Je prends mon parapluie". La proposition $P \Rightarrow Q$ est alors "S'il pleut, je prends mon parapluie". Si un jour, $P$ et $Q$ sont faux, c'est-à-dire s'il ne pleut pas et que je ne prends pas mon parapluie, alors je ne contredis pas mon principe comme quoi je prends mon parapluie chaque fois qu'il pleut : $P \Rightarrow Q$ est vrai. En fait, la seule manière pour que $P \Rightarrow Q$ soit faux est que je ne prenne pas mon parapluie alors qu'il pleut : il faut que $P$ soit vrai mais que $Q$ soit faux.

On a donc le tableau de vérité suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
P & Q & P \Rightarrow Q & Q \Rightarrow P & P \Leftrightarrow Q\\
\hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\hline
\end{array}$$
Remarque :
La proposition $P \Rightarrow Q$ peut en fait aussi s'écrire $\lnot P \lor Q$. En effet, les deux expressions sont fausses exactement quand $P$ est vrai et $Q$ est faux. La proposition $P \Leftrightarrow Q$ s'écrit quant à elle $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$, ou encore $(\lnot P \lor Q) \land (\lnot Q \lor P)$.