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Points théoriques

Inégalité de Cauchy-Schwarz Inégalité triangulaire

Exercices

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Inégalité triangulaire

L'inégalité triangulaire est, tout comme l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une inégalité remarquable possédant une interprétation géométrique.

Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ et $b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{R}$. On a l'inégalité
$$\sqrt{ (a_1+b_1)^2 + \ldots + (a_n+b_n)^2 } \leq \sqrt{a_1^2 + \ldots + a_n^2} + \sqrt{b_1^2 + \ldots + b_n^2},$$ ce qui s'écrit aussi, à l'aide du signe somme,
$$\sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}.$$ De plus, l'égalité a lieu si et seulement si $a_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ ou s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}^+$ tel que $b_i = \lambda a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.

Pour $n = 1$, l'inégalité triangulaire s'écrit simplement
$$|a+b| \leq |a| + |b|.$$ Cette version simplifiée peut s'avérer utile dans beaucoup de raisonnements.

Démonstration :
La fonction $f : t \mapsto t^2$ étant strictement croissante, on peut élever les deux membres de l'inégalité triangulaire désirée au carré pour obtenir une inégalité équivalente. On doit donc prouver que
$$\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}.$$ Comme $\displaystyle\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i b_i$, cette inégalité est elle-même équivalente à
$$\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2},$$ qui est toujours vraie puisque
$$\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left|\sum_{i=1}^n a_i b_i\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}$$ par l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Finalement, on a l'égalité si et seulement si $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i$ est positif et si on a l'égalité dans Cauchy-Schwarz. On sait que cette dernière a lieu lorsque les $a_i$ sont tous nuls ou quand il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $b_i = \lambda a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$. Pour que $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i \geq 0$, il faut que $\lambda$ soit positif, ce qui explique le cas d'égalité annoncé.

Interprétation géométrique

A nouveau, on peut avoir une intuition géométrique de cette inégalité, principalement lorsque $n = 2$ ou $n = 3$. En effet, celle-ci s'écrit
$$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\| + \|\vec{b}\|$$ où $\vec{a} = (a_1, \ldots, a_n)$ et $\vec{b} = (b_1, \ldots, b_n)$ sont des vecteurs de $\mathbb{R}^n$. Aussi, l'égalité a lieu si et seulement si les deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont parallèles et dans le même sens (car $\lambda$ doit être positif).
On peut par ailleurs facilement comprendre pourquoi cette inégalité s'appelle inégalité triangulaire. En effet, si on considère un triangle $ABC$, on peut considérer $\vec{a} = \vec{AB}$ et $\vec{b} = \vec{BC}$. On a alors $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ et l'inégalité triangulaire s'écrit dans ce cas
$$\| \vec{AC} \| \leq \| \vec{AB} \| + \| \vec{BC} \|.$$ Elle signifie donc que dans tout triangle, la longueur d'un côté est toujours inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.