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Général

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Points théoriques

Moyennes Inégalités des moyennes

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8

Moyennes

Dans le monde courant, on calcule souvent la moyenne arithmétique de plusieurs nombres. En fait, il existe d'autres façons de calculer une moyenne, et c'est l'objet de cette section.

Moyenne arithmétique

Il s'agit de la moyenne la plus connue. La moyenne arithmétique des nombres $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ est donnée par
$$m\{a_i\} = \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n}.$$ Exemple : La moyenne arithmétique des nombres $2$, $7$ et $9$ est $\displaystyle\frac{2+7+9}{3} = 6$.

Moyenne géométrique

On a l'habitude, en calculant une moyenne arithmétique de $n$ nombres, de les additionner avant de diviser le résultat par $n$. La moyenne géométrique, quant à elle, consiste de manière analogue à multiplier les nombres avant de prendre la racine $n^\text{ème}$ du résultat. On a donc, pour $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}^+$,
$$g\{a_i\} = \sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n}$$ Exemple : La moyenne géométrique des nombres $2$, $7$ et $9$ est $\sqrt[3]{2\cdot 7 \cdot 9} \approx 5.01$.

Moyenne harmonique

La moyenne harmonique est un peu plus farfelue mais peut servir tout autant dans le cadre des inégalités. Elle consiste à calculer l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses des nombres. Elle s'exprime donc, pour $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}_0^+$, comme
$$h\{a_i\} = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}}.$$ Exemple : La moyenne harmonique des nombres $2$, $7$ et $9$ est $\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}} \approx 3.98$.

Moyenne quadratique

Un peu comme pour la moyenne harmonique, on peut aussi calculer la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des nombres. Il s'agit alors de la moyenne quadratique, définie dès lors pour $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}^+$ par
$$q\{a_i\} = \sqrt{\frac{a_1^2 + \ldots + a_n^2}{n}}.$$ Exemple : La moyenne quadratique des nombres $2$, $7$ et $9$ est $\displaystyle\sqrt{\frac{2^2+7^2+9^2}{3}} \approx 6.68$.

Remarque

Nous avons donc quatre façons de calculer des moyennes, et on constate sur notre exemple que les résultats sont sensiblement différents. C'est justement la comparaison des différentes moyennes qui va nous intéresser dans ce chapitre. En effet, nous avons pour notre exemple
$$2 \leq h\{2,7,9\} \leq g\{2,7,9\} \leq m\{2,7,9\} \leq q\{2,7,9\} \leq 9,$$ et nous allons voir que cette suite d'inégalité est en fait vraie en toute généralité.