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Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Moyennes Inégalités des moyennes

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8

Inégalités des moyennes

On a la suite d'inégalités suivantes (à noter que les notations introduites précédemment pour les moyennes ne sont pas forcément courantes, et il est donc important d'expliquer les notations utilisées dans une démonstration éventuelle en compétition).

Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}_0^+$. On a la suite d'inégalités
$$\min\{a_i\} \leq h\{a_i\} \leq g\{a_i\} \leq m\{a_i\} \leq q\{a_i\} \leq \max\{a_i\}.$$ De plus, chacune des inégalités devient une égalité exactement lorsque tous les $a_i$ sont égaux.

Démonstration (pour $n = 2$) :
Nous donnons la démonstration de cette suite d'inégalité dans le cas où $n = 2$. Elles sont bien sûr valables pour $n$ quelconque, mais la démonstration générale est trop complexe à ce stade du cours. Celle-ci sera cependant donnée dans le chapitre sur les moyennes généralisées.

Pour $n = 2$, on note $a \leq b$ les deux éléments dont on calcule les différentes moyennes. On doit donc démontrer que
$$\displaystyle a \leq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b.$$
  • $\displaystyle a \leq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ : Comme $b \geq a$, on a $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$ et on a l'inégalité voulue en prenant les inverses (ce qu'on peut faire car les deux côtés de l'inégalité sont positifs).

  • $\displaystyle \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ : On a $0 \leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$, ce qui permet directement de conclure.

  • $\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ : On sait par le point précédent que $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}} \leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}$. En passant aux inverses, on obtient l'inégalité voulue.

  • $\displaystyle \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ : En élevant les deux membres au carré, on voit que l'on doit montrer l'inégalité $\displaystyle\frac{a^2+b^2+2ab}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2}$. Après simplification, on voit que cette dernière est elle-même équivalente à $(a-b)^2 \geq 0$, qui est toujours vrai.

  • $\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b$ : Comme $a \leq b$, on a directement $\displaystyle \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \displaystyle \sqrt{\frac{b^2+b^2}{2}} \leq b$.

De plus, on vérifie aisément que chacune de ces inégalités devient une égalité exactement lorsque $a = b$.