Théorie > Équations fonctionnelles > Équation de Cauchy


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Sur les naturels Sur les entiers Sur les rationnels Sur les réels En pratique

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Sur les naturels

Comme annoncé dans l'introduction, si le domaine de définition de $f$ est $\mathbb{N}$, nous avons une description complète des solutions de l'équation de Cauchy.

Si $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfait l'équation de Cauchy
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{N}$, alors il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x \in \mathbb{N}$.

Preuve :
Il suffit de prouver que $f(x)=f(1) \cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{N}$ (et $a$ sera alors donné par $f(1)$). Faisons-le par récurrence :

  • Cas de base : pour $x=0$ : En remplaçant $x$ et $y$ par $0$ dans l'équation, nous obtenons $f(0)=f(0)+f(0)$ et donc $f(0)=0$.

  • Pas récurrent : Supposons que $f(x)=f(1)\cdot x$ pour un certain $x \in \mathbb{N}$ et prouvons que $f(x+1)=f(1)\cdot (x+1)$. Il suffit de calculer
    $$f(x+1)=f(x)+f(1)=f(1)\cdot x+f(1)=f(1)\cdot (x+1).$$
Remarque :
Dans la preuve précédente, le domaine d'arrivée ne joue pas un grand rôle. Par exemple, si $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ satisfait l'équation de Cauchy, alors la même preuve nous dit que $f(x)=ax$ pour un certain $a \in \mathbb{N}$.