Théorie > Équations fonctionnelles > Équation de Cauchy


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Sur les naturels Sur les entiers Sur les rationnels Sur les réels En pratique

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Sur les rationnels

Une nouvelle fois, si le domaine de définition de $f$ est $\mathbb{Q}$, nous avons la même description des solutions.

Si $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfait l'équation de Cauchy
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{Q}$, alors il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$.

Preuve :
Il suffit encore une fois de prouver que $f(x)=f(1)\cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$. Par la preuve précédente, on a déjà $f(x)=f(1)\cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{Z}$.
Prouvons maintenant par récurrence sur $n$ que $f(nx)=nf(x)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $x \in \mathbb{Q}$ :

  • Cas de base : nous savons déjà que $f(0\cdot x)=0$ quel que soit $x \in \mathbb{Q}$.

  • Pas récurrent : Supposons que $f(nx)=nf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$ et pour un certain $n \in \mathbb{N}$ et prouvons que $f((n+1)x)=(n+1)f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$. Pour ce faire, il suffit de calculer
    $$f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x).$$
Nous pouvons maintenant prouver que $f(x)=f(1)\cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$. En effet, soit $x \in \mathbb{Q}$. Par définition de $\mathbb{Q}$, $x$ peut s'écrire comme $\displaystyle x=\frac{z}{n}$ pour un $z \in \mathbb{Z}$ et un $n \in \mathbb{N}_0$. Dès lors,
$$f(1)\cdot z=f(z)=f\left(\frac{z}{n}n\right)=nf\left(\frac{z}{n}\right)=nf(x),$$ et on a $\displaystyle f(x)=f(1)\cdot \frac{z}{n}=f(1)\cdot x$ comme espéré.

Remarque :
A nouveau, si $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ satisfait l'équation de Cauchy, nous pouvons aussi dire que $f(x)=ax$ pour un certain $a \in \mathbb{Q}$.