Théorie > Équations fonctionnelles > Équation de Cauchy


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Sur les naturels Sur les entiers Sur les rationnels Sur les réels En pratique

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Sur les réels

En général

Dans le cas où $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, il existe d'autres solutions que $f(x)=ax$. Malheureusement, elles sont tellement compliquées qu'on ne peut ni les décrire ni en donner un exemple dans le cadre de ce cours. Cependant, certains résultats existent.

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction qui satisfait l'équation de Cauchy
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$. Alors $f(qx)=qf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $q \in \mathbb{Q}$.

Preuve :
La preuve est très similaire à la succession des trois preuves précédentes. Nous la donnons tout de même en détails.

  1. Par récurrence, on montre que $f(nx)=nf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$.

    • Case de base : $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$, donc $f(0)=0$.

    • Pas récurrent : On suppose que $f(nx)=nf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour un certain $n \in \mathbb{N}$ et on prouve que $f((n+1)x)=(n+1)f(x)$ :
      $$f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x).$$

  2. On sait que $0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Dès lors, si $z \in \mathbb{Z}^-$,
    $$f(zx)=-f(-zx)=-(-z)f(x)=zf(x).$$ Nous venons donc de prouver que $f(zx)=zf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $z \in \mathbb{Z}$.

  3. Si $q \in \mathbb{Q}$, nous pouvons l'écrire comme $\displaystyle q=\frac{z}{n}$ où $z \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}_0$. Donc
    $$nqf(x)=zf(x)=f(zx)=f\left(\frac{z}{n}nx\right)=f(qnx)=nf(qx).$$ Nous pouvons en conclure que $f(qx)=qf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $q \in \mathbb{Q}$.

Sous certaines conditions

Dans le cas où la fonction est continue, il est possible de conclure comme précédemment (nous ne le prouvons pas).

Si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction continue qui satisfait l'équation de Cauchy
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$, alors il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Il est cependant généralement assez difficile de prouver que $f$ est continue à partir d'une équation fonctionnelle. Cette proposition est donc intérssante principalement si on nous dit dans l'énoncé que $f$ est continue.

Il existe d'autres cas où il est possible de conclure. Nous avons d'abord besoin de rappeler certaines définitions.

Définitions : Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction.
  1. On dit que $f$ est croissante si pour tous $x,y \in \mathbb{R}$ tels que $x \leq y$, on a $f(x) \leq f(y)$.
  2. On dit que $f$ est décroissante si pour tous $x,y \in \mathbb{R}$ tels que $x \leq y$, on a $f(x) \geq f(y)$.
  3. On dit que $f$ est monotone si elle croissante ou décroissante.
  4. On dit que $f$ est strictement croissante si pour tous $x,y \in \mathbb{R}$ tels que $x < y$, on a $f(x) < f(y)$.
  5. On dit que $f$ est strictement décroissante si pour tous $x,y \in \mathbb{R}$ tels que $x < y$, on a $f(x) > f(y)$.
  6. On dit que $f$ est strictement monotone si elle strictement croissante ou strictement décroissante.

Si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction monotone qui satisfait l'équation de Cauchy
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$, alors il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.