En général
Dans le cas où $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, il existe d'autres solutions que $f(x)=ax$ avec $a \in \mathbb R$. Malheureusement, elles sont tellement compliquées qu'on ne peut ni les décrire ni en donner un exemple dans le cadre de ce cours. Cependant, certains résultats existent.
Proposition
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction qui satisfait l'équation de Cauchy
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$. Alors $f(qx)=qf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $q \in \mathbb{Q}$.
Démonstration
La preuve est très similaire à la succession des trois preuves précédentes. Nous la donnons tout de même en détails.
- Par récurrence, on montre que $f(nx)=nf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Cas de base : $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$, donc $f(0)=0$.
- Pas récurrent : On suppose que $f(nx)=nf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour un certain $n \in \mathbb{N}$ et on prouve que $f((n+1)x)=(n+1)f(x)$ :
$$f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x).$$
- On sait que $0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Dès lors, si $z \in \mathbb{Z}^-$,
$$f(zx)=-f(-zx)=-(-z)f(x)=zf(x).$$ Nous venons donc de prouver que $f(zx)=zf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $z \in \mathbb{Z}$.
- Si $q \in \mathbb{Q}$, nous pouvons l'écrire comme $\displaystyle q=\frac{z}{n}$ où $z \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}_0$. Donc
$$nqf(x)=zf(x)=f(zx)=f\left(\frac{z}{n}nx\right)=f(qnx)=nf(qx).$$ Nous pouvons en conclure que $f(qx)=qf(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $q \in \mathbb{Q}$.
Sous certaines conditions
Dans le cas où la fonction est continue, il est possible de conclure comme précédemment (nous ne le prouvons pas).
Proposition
Si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction continue qui satisfait l'équation de Cauchy
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$, alors il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Il est cependant généralement assez difficile de prouver que $f$ est continue à partir d'une équation fonctionnelle. Cette proposition est donc intéressante principalement si on nous dit dans l'énoncé que $f$ est continue.
Il existe d'autres cas où il est possible de conclure. Nous avons d'abord besoin de rappeler certaines définitions.
Proposition
Si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction monotone qui satisfait l'équation de Cauchy
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$, alors il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.