Théorie > Inégalités > Inégalités de Muirhead et de Schur


Général

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Points théoriques

Inégalité de Muirhead Astuces pratiques Inégalité de Schur

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Inégalité de Schur

Il arrive parfois que l'on arrive à une situation a priori idéale pour appliquer l'inégalité de Muirhead, mais que celle-ci ne permette pas de conclure. Une alternative est alors d'utiliser l'inégalité de Schur énoncée ci-après.

Soient $x,y,z \in \mathbb{R}^+$ et $t \in \mathbb{R}$. Si $t \leq 0$, alors on suppose que $x, y$ et $z$ sont non-nuls. On a
$$x^t(x-y)(x-z) + y^t(y-z)(y-x) + z^t(z-x)(z-y) \geq 0.$$

Démonstration :
Comme l'inégalité est symétrique, on peut supposer sans perte de généralité que $x \geq y \geq z \geq 0$.

  • Si $t \geq 0$, alors on réécrit l'inégalité sous la forme
    $$(x-y)(x^t(x-z) - y^t(y-z)) + z^t(x-z)(y-z) \geq 0,$$ et on peut directement conclure en observant le signe de chaque terme : ils sont tous positifs. En effet, $x \geq y$ donc, comme $t$ est positif, $x^t \geq y^t$ et $x-z \geq y-z$ car $x \geq y$ donc $x^t(x-z) \geq y^t(y-z)$.

  • Si $t < 0$, alors on réécrit plutôt l'inégalité sous la forme
    $$x^t(x-y)(x-z) + (y-z)(z^t(x-z) - y^t(x-y)) \geq 0.$$ Là aussi, tous les termes sont positifs car $z^t \geq y^t$ lorsque $y \geq z$ et $t < 0$.

Écriture plus utile pour Muirhead

On a en fait, en posant $t = \frac{\alpha}{\beta}$, et en remplaçant $(x,y,z)$ par $(x^{\beta}, y^\beta, z^\beta)$, une version du théorème de Schur plus utile à utiliser avec Muirhead :

Soient $x,y,z \in \mathbb{R}^+$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Si $\alpha \leq 0$ ou $\beta \leq 0$, alors on suppose que $x, y$ et $z$ sont non-nuls. On a
$$x^\alpha(x^\beta-y^\beta)(x^\beta-z^\beta) + y^\alpha(y^\beta-z^\beta)(y^\beta-x^\beta) + z^\alpha(z^\beta-x^\beta)(z^\beta-y^\beta) \geq 0.$$

Cette inégalité peut sembler tout à fait lointaine de l'inégalité de Muirhead, mais il suffit de la développer pour observer la similitude :
$$ x^{\alpha+2\beta} + y^{\alpha+2\beta} + z^{\alpha+2\beta} + x^\alpha y^\beta z^\beta + x^\beta y^\alpha z^\beta + x^\beta y^\beta z^\alpha \geq x^{\alpha+\beta} y^\beta + x^{\alpha+\beta} z^\beta + y^{\alpha+\beta} x^\beta + y^{\alpha+\beta} z^\beta + z^{\alpha+\beta} x^\beta + z^{\alpha+\beta} y^\beta,$$ ce qui s'écrit simplement à l'aide des $p$-moyennes comme
$$[(\alpha+2\beta,0,0)] + [(\alpha,\beta,\beta)] \geq 2[(\alpha+\beta,\beta,0)].$$ Cette inégalité ne peut pas être obtenue à partir de l'inégalité de Muirhead, puisque l'on a $(\alpha+2\beta,0,0) \succ (\alpha+\beta,\beta,0)$ mais $(\alpha,\beta,\beta) \prec (\alpha+\beta,\beta,0)$. C'est pourquoi l'inégalité de Schur peut être considérée comme un complément à l'inégalité de Muirhead, en ce sens qu'elle permet de se débloquer de situations auxquelles Muirhead ne s'applique pas.