Théorie > Inégalités > Convexité et inégalité de Jensen


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Points théoriques

Ensembles convexes Fonctions convexes Inégalité de Jensen

Exercices

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Inégalité de Jensen

Lorsqu'on sait qu'une fonction est convexe ou concave (c'est-à-dire qu'on l'a vérifié graphiquement ou qu'on a calculé sa dérivée seconde), on peut utiliser l'inégalité de Jensen suivante, qui est en quelque sorte une généralisation de la définition de convexité (qui compare $f(\lambda x + (1-\lambda)y)$ avec $\lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)$ où $\lambda \in [0, 1]$).

Soit $f:I\to\mathbb{R}$ une fonction.
Si $f$ est convexe sur $I$, alors pour tous $a_1, \ldots, a_n \in I$ et pour tous $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \in [0,1]$ tels que $\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = 1$, on a
$$f\left(\lambda_1 a_1 + \ldots + \lambda_n a_n \right) \leq \lambda_1 f(a_1) + \ldots + \lambda_n f(a_n),$$ ce qui s'écrit, à l'aide des signes somme,
$$f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_ia_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_if(a_i).$$ Si $f$ est concave sur $I$, alors on a plutôt
$$f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_ia_i\right) \geq \sum_{i=1}^n \lambda_if(a_i).$$

Démonstration :
On montre le cas où $f$ est convexe, l'autre cas était similaire. On procède par récurrence.

  • Pour $n = 2$, $\lambda_2 = 1 - \lambda_1$, et l'inégalité de Jensen devient alors
    $$f(\lambda_1 a_1 + (1-\lambda_1) a_2) \leq \lambda_1 f(a_1) + (1-\lambda_1) f(a_2)$$ ce qui est exactement la définition de la convexité.

  • Supposons maintenant que l'inégalité de Jensen est vraie pour $n$ et montrons-la pour $n+1$. On doit donc prouver
    $$f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_ia_i + \lambda_{n+1}a_{n+1}\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_if(a_i) + \lambda_{n+1}f(a_{n+1})$$ où $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i = 1$. Si $\lambda_{n+1} = 0$, alors on a bien sûr déjà terminé. Par contre, on ne peut malheureusement pas appliquer l'hypothèse de récurrence sur les $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ dans le cas contraire car leur somme vaut $1-\lambda_{n+1}$ et non $1$. Une bonne idée est donc de poser $\displaystyle \lambda_i' = \frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}}$ pour $i \in \{1, \ldots, n\}$ de sorte que $\lambda'_1+\ldots+\lambda'_n=1$. L'inégalité à prouver devient alors
    $$f\left((1-\lambda_{n+1})\sum_{i=1}^n \lambda_i'a_i + \lambda_{n+1}a_{n+1}\right) \leq (1-\lambda_{n+1})\sum_{i=1}^n \lambda_i'f(a_i) + \lambda_{n+1}f(a_{n+1}).$$ Par la définition de convexité, on a d'abord
    $$f\left((1-\lambda_{n+1})\sum_{i=1}^n \lambda_i'a_i + \lambda_{n+1}a_{n+1}\right) \leq (1-\lambda_{n+1})f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i'a_i\right) + \lambda_{n+1}f(a_{n+1}),$$ et l'hypothèse de récurrence nous permet ensuite de conclure puisqu'elle nous donne
    $$(1-\lambda_{n+1})f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i'a_i\right) + \lambda_{n+1}f(a_{n+1}) \leq (1-\lambda_{n+1})\sum_{i=1}^n \lambda_i'f(a_i) + \lambda_{n+1}f(a_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i f(a_i).$$

Exemple

On peut utiliser l'inégalité de Jensen pour montrer que la moyenne géométrique de plusieurs nombres est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique de ceux-ci :
$$\sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \quad \text{pour } \ a_1, \ldots, a_n \geq 0.$$ Si l'un des $a_i$ est nul, alors l'inégalité est évidente. Sinon, les deux membres sont strictement positifs. Dès lors, comme la fonction $\ln(x)$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_0^+$, c'est équivalent à
$$\ln(\sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}) \leq \ln\left(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right)$$ ou encore
$$\frac{\ln(a_1) + \ln(a_2) + \ldots + \ln(a_n)}{n} \leq \ln\left(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\right)$$ ce qui est vrai par l'inégalité de Jensen en prenant $f(x) = \ln(x)$ et $\lambda_i = \frac{1}{n}$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ car $\ln(x)$ est concave et $\sum_{i=1}^n \frac{1}{n} = 1$.