Soit $p \in \mathbb{R}_0^+$ et soient $a_1,\ldots,a_n \in \mathbb{R}^+$ et $b_1,\ldots,b_n \in \mathbb{R}^+$.
- Si $p > 1$, on a
$$\left((a_1+b_1)^p + \ldots + (a_n+b_n)^p\right)^\frac{1}{p} \leq \left(a_1^p + \ldots + a_n^p \right)^\frac{1}{p} + \left(b_1^p + \ldots + b_n^p \right)^\frac{1}{p},$$ ce qui s'écrit aussi, à l'aide des signes somme,
$$\left(\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p\right)^\frac{1}{p} \leq \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}.$$
- Si $0 < p < 1$, on a au contraire
$$\left(\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p\right)^\frac{1}{p} \geq \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac{1}{p}}.$$
De plus, on a l'égalité si et seulement si $a_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ ou s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $b_i = \lambda a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.
Pour $p = 2$, on retrouve l'inégalité triangulaire (avec des variables positives).
Nous donnons la démonstration dans le cas où $p > 1$, l'autre cas se prouvant pareillement. Nous avons
$$\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p = \sum_{i= 1}^n a_i (a_i+b_i)^{p-1} + \sum_{i=1}^n b_i (a_i+b_i)^{p-1}.$$ On applique alors l'inégalité de Hölder à chacune des deux sommes, avec les coefficients $p$ et $\frac{p}{p-1}$ (qui sont bien tels que $\frac{1}{p} + \frac{p-1}{p} = 1$). Cela nous donne
$$\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^\frac{1}{p} \left( \sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^\frac{p-1}{p} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^p \right)^\frac{1}{p} \left( \sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^\frac{p-1}{p}.$$ En divisant chaque membre par $\displaystyle\left( \sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^\frac{p-1}{p}$, on obtient exactement l'inégalité de Minkowski.
De plus, le cas d'égalité de l'inégalité de Hölder nous indique que l'égalité a ici lieu lorsque les vecteurs $(a_1^p, \ldots, a_n^p)$ et $\left((a_1+b_1)^p, \ldots, (a_n+b_n)^p\right)$ sont proportionnels et qu'il en est de même des vecteurs $(b_1^p, \ldots, b_n^p)$ et $\left((a_1+b_1)^p, \ldots, (a_n+b_n)^p\right)$. On vérifie aisément que cela n'arrive que lorsque les vecteurs $(a_1, \ldots, a_n)$ et $(b_1, \ldots, b_n)$ sont proportionnels.