Théorie > Inégalités > Généralisation des moyennes


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Moyennes généralisées Moyennes pondérées

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Moyennes généralisées

Remarquons que les moyennes que nous avons vues pour le moment ont des formes assez semblables, à l'exception de la moyenne géométrique. En effet, les moyennes harmoniques, arithmétiques et quadratiques ont la forme
$$\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{\frac{1}{p}}$$ avec $p = -1, 1$ et $2$ respectivement. On remarque aussi que l'ordre des moyennes, donné par les inégalités des moyennes, est le même que celui des différentes valeurs de $p$.

L'idée des moyennes généralisées est alors de permettre à $p$ dans la formule précédente de prendre n'importe quelle valeur réelle. Cela n'est juste pas possible pour $p = 0$, mais par chance, la moyenne géométrique semble justement au vu des inégalités des moyennes être plus grande que les moyennes avec $p < 0$ et plus petite que celles avec $p > 0$. On définit donc, sur base de ces constatations,
$$M_p\{a_i\} = \left\{ \begin{array}{cl}
\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)^{\frac{1}{n}} & \text{si } p = 0,\\
\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}} & \text{si } p \neq 0.
\end{array} \right.$$ On a alors l'inégalité des moyennes généralisées, comme on le pressentait :

Si $p, q \in \mathbb{R}$ sont tels que $p < q$, alors pour tous réels strictement positifs $a_1, \ldots, a_n$ on a
$$M_p\{a_i\} \leq M_q\{a_i\}.$$ L'égalité a lieu si et seulement si $a_1 = \ldots = a_n$.

Nous verrons dans le point théorique suivant les moyennes pondérées et les inégalités les concernant. Elles seront encore plus générales que celles-ci, et nous en donnerons la démonstration.