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Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Changements de variables classiques Inégalités homogènes Inégalités symétriques Transformation de Ravi

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6

Inégalités homogènes

Une inégalité est dite homogène si, lorsqu'on multiplie chaque variable par une même constante, on retombe sur la même inégalité.
Le plus simple pour comprendre ce dont il s'agit est d'observer un exemple.

Exemple : L'inégalité
$$\frac{a(b+c)}{bc} + \frac{b(a+c)}{ac} + \frac{c(a+b)}{ab} \geq 6$$ est homogène. En effet, si l'on multiplie chacune des variables $a$, $b$ et $c$ par une constante $k$, alors l'inégalité devient
$$\frac{ka(kb+kc)}{k^2bc} + \frac{kb(ka+kc)}{k^2ac} + \frac{kc(ka+kb)}{k^2ab} \geq 6$$ et tous les $k$ se simplifient, ce qui nous ramène à l'inégalité de départ.

Astuce de résolution

Le fait qu'une inégalité soit homogène peut sembler peu utile (puisqu'un changement de variables semble ne pas modifier l'inégalité), mais il s'agit en fait d'une propriété très intéressante. En effet, lorsqu'on est en présence d'une inégalité homogène de variables $a_1, \ldots, a_n$, on peut supposer sans perte de généralité que les variables en question vérifient une propriété supplémentaire :

  1. On peut supposer que $a_1 + \ldots + a_n = 1$ :

    En général, si on parvient à montrer une inégalité quelconque uniquement pour les variables $a_i$ dont la somme vaut $1$, on n'a pas encore achevé la preuve de l'inégalité. En effet, celle-ci n'est peut-être pas vraie pour certaines variables $a_i$ dont la somme est différente de $1$. Cela dit, lorsque l'inégalité est homogène, on ne perd en fait aucune généralité en supposant que la somme des variables vaut $1$ :

    Imaginons que nous ayions montré une certaine inégalité homogène en supposant au préalable que $a_1+\ldots+a_n = 1$. Nous affirmons que l'inégalité est alors également vraie même si $a_1+\ldots+a_n = k \neq 1$. En effet, dans ce cas, on peut effectuer le changement de variable $\displaystyle a'_i = \frac{a_i}{k}$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$. Par homogénéité, l'inégalité avec les $a_i$ est alors équivalente à la même inégalité avec les $a'_i$, mais la somme de ces derniers vaut désormais $1$ et nous nous sommes ainsi ramenés au cas que nous avions déjà traité.

    Remarque : Il faut tout de même faire attention au cas où $k = 0$. En effet, si les conditions de l'énoncé sur les variables $a_i$ n'empêchent pas la somme $a_1+\ldots + a_n$ de valoir $0$, alors il faut traîter ce cas à part. Dans la pratique, cela arrive cependant rarement puisqu'on suppose souvent que les variables $a_i$ sont (strictement) positives.

  2. On peut supposer que $a_1a_2\ldots a_n = 1$ :

    Il s'agit là de la même astuce. Si on a démontré une inégalité homogène sous la condition supplémentaire que $a_1a_2\ldots a_n = 1$, alors elle est également vraie lorsque $a_1a_2\ldots a_n = k \neq 1$. On peut en effet dans ce cas effectuer le changement de variables $\displaystyle a'_i = \frac{a_i}{\sqrt[n]{k}}$ qui nous ramène au cas déjà traîté.

    Remarque : Là aussi, il faut traîter à part le cas où l'un des $a_i$ est nul puisque cela impliquerait $a_1a_2\ldots a_n = 0$ et on ne peut pas appliquer le raisonnement précédent dans ce cas.

Remarque importante : Lorsqu'on est en présence d'une inégalité homogène, on peut donc supposer que la somme ou le produit des variables vaut $1$. On ne peut cependant pas effectuer ces deux suppositions en même temps! Une fois que l'on suppose que la somme des variables vaut $1$, l'homogénéité a été exploitée et il n'est plus question de rajouter la supposition supplémentaire que le produit des variables vaut $1$. On peut donc juste tenter d'utiliser une de ces deux simplifications à la fois.

Supposer que la somme ou le produit vaut $1$ est ce qui se fait assez couramment, mais il n'est bien sûr pas interdit de faire une supposition plus farfelue qui conviendrait mieux au problème auquel on est confronté. On peut donc par exemple plutôt supposer que $a_1 a_2^2 \ldots a_n^n = 1$ si cela semble mieux convenir (mais il faut être certain que le raisonnement expliqué dans cette section fonctionne à nouveau).