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Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Changements de variables classiques Inégalités homogènes Inégalités symétriques Transformation de Ravi

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6

Inégalités symétriques

Une inégalité est dite symétrique si, lorsqu'on permute les variables de manière quelconque, on retombe sur la même inégalité. Cela revient à dire que chaque variable joue le même rôle dans l'inégalité et qu'aucune n'est "privilégiée".
Encore une fois, le mieux est d'observer des exemples.

Exemple : L'inégalité
$$\frac{a(b+c)}{bc} + \frac{b(a+c)}{ac} + \frac{c(a+b)}{ab} \geq 6,$$ en plus d'être homogène comme nous l'avons vu, est symétrique. En effet, si l'on permute les variables $a$, $b$ et $c$, on retombe chaque fois sur la même inégalité. Par exemple, en remplaçant $a$ par $b$, $b$ par $c$ et $c$ par $a$, on obtient
$$\frac{b(c+a)}{ca} + \frac{c(b+a)}{ba} + \frac{a(b+c)}{bc} \geq 6$$ qui est exactement la même inégalité.

Contre-exemple : L'inégalité
$$\frac{a^2+b^2}{ab} + \frac{b^2+c^2}{bc} + \frac{c^2+d^2}{cd} + \frac{d^2+a^2}{da} \geq 8$$ n'est pas symétrique. En effet, si on interchange simplement les variables $a$ et $b$, on tombe sur l'inégalité
$$\frac{b^2+a^2}{ba} + \frac{a^2+c^2}{ac} + \frac{c^2+d^2}{cd} + \frac{d^2+b^2}{db} \geq 8$$ qui n'est visiblement pas la même que l'inégalité initiale.

Astuce de résolution

Lorsqu'on est en présence d'une inégalité symétrique, on peut si on le désire supposer sans perte de généralité que les variables sont dans un certain ordre. En effet, vu qu'une permutation des variables ne change en rien l'inégalité, on peut toujours les permuter de sorte qu'elles soient, par exemple, en ordre croissant. Si les variables sont $a_1, \ldots, a_n$, on peut donc supposer que $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$. Cela peut bien sûr se révéler utile dans la résolution d'une inégalité.