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Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Changements de variables classiques Inégalités homogènes Inégalités symétriques Transformation de Ravi

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6

Changements de variables classiques

Voici quelques changements de variables classiques qui peuvent se révéler utiles dans différentes situations. Il s'agit là de différentes possibilités mais elles ne fonctionnent bien sûr pas à tous les coups. Nous présentons simplement différentes méthodes qui sont connues pour parfois simplifier des inégalités.

  1. Si on a deux variables $a, b \in \mathbb{R}$, on peut toujours poser
    $$\left\{\begin{align}
    a &= \alpha + \beta\\
    b &= \alpha - \beta
    \end{align}\right.$$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Il suffit en effet de prendre
    $$\left\{\begin{align}
    \alpha &= \frac{a+b}{2}\\[2mm]
    \beta &= \frac{a-b}{2}
    \end{align}\right.$$ Ce changement de variables permet parfois de se ramener à une inégalité plus simple ou plus parlante.

  2. Si on a trois variables $a,b,c \in \mathbb{R}$ sous la contrainte $a+b+c = 0$, on peut être tenté de remplacer $c$ par $-a-b$ dans l'inégalité à prouver. Malheureusement, cela brise alors la symétrie éventuelle de l'inégalité ce qui la complique inévitablement. Une meilleure idée pour se débarrasser de la contrainte $a+b+c = 0$ est de poser
    $$\left\{\begin{align}
    a &= \beta - \gamma\\
    b &= \gamma - \alpha\\
    c &= \alpha - \beta
    \end{align}\right.$$ pour des $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$. On peut en fait même donner une valeur particulière à l'une des trois nouvelles variables (par exemple prendre $\alpha = 0$) mais cela brisera à nouveau la symétrie de l'inégalité que nous cherchons pourtant à préserver. Ce changement de variable est très utile puisqu'il permet de se débarrasser de la contrainte toute en préservant une certaine harmonie.

    Remarque : Ce changement de variable peut évidemment être également effectué avec $n$ variables $a_1, \ldots, a_n$ vérifiant $a_1+\ldots+a_n = 0$. On pose dans ce cas
    $$\left\{\begin{align}
    a_1 &= \alpha_1 - \alpha_2 \\
    a_2 &= \alpha_2 - \alpha_3 \\
    & \vdots \\
    a_n &= \alpha_n - \alpha_1
    \end{align}\right.$$

  3. Si on a trois variables $a,b,c \in \mathbb{R}$ sous la contrainte $abc = 1$, alors le même problème que dans le point précédent se pose : on peut remplacer $c$ par $\frac{1}{ab}$ mais cela complique généralement l'inégalité. On préfère donc effectuer le changement de variables
    $$\left\{\begin{align}
    a & = \frac{\alpha}{\beta} \\[1mm]
    b &= \frac{\beta}{\gamma} \\[1mm]
    c &= \frac{\gamma}{\alpha}
    \end{align}\right.$$
    Remarque : A nouveau, si on a $n$ variables $a_1, \ldots, a_n$ vérifiant $a_1 a_2 \ldots a_n = 1$, alors on peut aussi appliquer le même type de changement de variables.

  4. On peut aussi passer d'une contrainte de type $a+b+c = 0$ à une contrainte de type $\alpha\beta\gamma = 1$ en posant
    $$\left\{\begin{align}
    a &= \ln \alpha \\
    b &= \ln \beta \\
    c &= \ln \gamma
    \end{align}\right.$$ avec $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}_0^+$. Dans le sens contraire, on peut bien sûr poser
    $$\left\{\begin{align}
    \alpha &= e^a \\
    \beta &= e^b \\
    \gamma &= e^c
    \end{align}\right.$$

  5. Si on est en présence d'une contrainte du type $a+b+c = 1$ plutôt que $a+b+c = 0$, on peut tout de même être tenté d'utiliser la transformation expliquée au point 2. Cela peut effectivement être fait en posant au préalable $a = \frac 13 + a'$, $b = \frac 13 + b'$, $c = \frac 13 + c'$ de sorte que $a'+b'+c'=0$.

  6. Si on a une suite croissante $a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$, on peut poser la suite de réels positifs $b_1, \ldots, b_n$ tels que $b_k = a_k - a_{k-1}$. S'il est mentionné que les $a_n$ sont positifs (c'est à dire que $a_0$ est positif) ou qu'on montre que l'inégalité est vérifiée dans le cas contraire, on peut poser $b_0 = a_0$ qui est alors positif également.