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Nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un nombre naturel qui possède exactement deux diviseurs (positifs).

Vu qu'un nombre $n \in \mathbb{N}$ est toujours divisible par $1$ et par $n$, cela signifie intuitivement qu'il ne doit posséder aucun diviseur différent de $1$ et lui-même. Par exemple, $5$ est un nombre premier car il n'est divisible que par $1$ et $5$.

Attention : Une faute très courante due à cette "intuition" est de penser que $1$ est un nombre premier. Il n'en est rien! Certes, il ne possède aucun diviseur différent de $1$ et lui-même, mais il ne possède pas exactement deux diviseurs : il n'en a qu'un seul! Les premiers nombres premiers sont donc $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots$

Un premier résultat concernant les nombres premiers est le suivant.

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration :
On procède par l'absurde, en supposant qu'il existe seulement un nombre fini de nombres premiers. On note alors ceux-ci $p_1, p_2, \ldots, p_n$. On considère alors le nombre $q = p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k + 1$. Ce nombre n'étant visiblement divisible par aucun des $p_i$, il doit être premier lui aussi. C'est absurde, puisqu'il est différent des $p_i$ et qu'on a supposé qu'il s'agissait des seuls nombres premiers.

Décomposition en facteurs premiers

Aussi appelé théorème fondamental de l'arithmétique, le théorème de décomposition en produit de facteurs premiers nous dit la chose suivante.

Tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers, et ce d'une unique façon à l'ordre près des facteurs.

Autrement dit, pour tout $n \in \mathbb{N}_0$ il existe d'uniques nombres premiers $p_1 < p_2 < \ldots < p_k$ et des entiers strictement positifs $e_1, e_2, \dots, e_k$ tels que
$$ n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}.$$

Par exemple, la décomposition en facteurs premiers de $90$ est
$$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$ Comme dans cet exemple, on sous-entend généralement les exposants égaux à $1$.

Le théorème est un peu ambigu pour $n = 1$. On considère en fait que $1$ est égal au produit de zéro nombre premier. Bien que peu intuitif, cela peut s'expliquer par le fait que multiplier par $1$ revient à ne multiplier par rien du tout.