Les formules remarquables suivantes peuvent paraître anodines mais se révèlent en fait être très utilisées dans la résolution de problèmes. Il est donc bon de les connaître.
Cas simple
Lorsque nous sommes en présence d'une somme ou d'une différence de deux cubes, il est toujours possible de décomposer ce terme en produit de deux facteurs comme suit :
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 +ab + b^2),$$ $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2).$$ Il suffit de développer les membres de droite pour constater que ces formules sont bel et bien vraies.
Cas général
Il est possible de généraliser ces formules pour des puissances $n$-èmes. Pour la première, nous avons en fait :
$$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}) \quad \text{pour tout } n\in \mathbb{N}_0.$$ Pour ce qui est de la somme de deux puissances, nous avons également une généralisation mais il est important de garder en tête que celle-ci n'est valable que pour les puissances impaires (il n'est par exemple pas possible de décomposer $a^2 + b^2$ en produit de deux facteurs) :
$$a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \ldots - ab^{n-2} + b^{n- 1}) \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}_0 \text{ impair}.$$ À noter que cette fois, le deuxième facteur de la décomposition contient des termes alternés (un terme sur deux est précédé d'un signe $+$).
Ces deux formules peuvent également être prouvées en développant les membres de droite. En fait, la deuxième peut être obtenue de la première en remplaçant $b$ par $-b$ (ce qui explique pourquoi $n$ doit être impair).
Remarques
- Vu que la théorie des nombres s'intéresse généralement à la divisibilité des nombres, ce que l'on utilise souvent est le fait que $a-b$ divise $a^n- b^n$ pour tout $n$ et que $a+b$ divise $a^n + b^n$ pour tout $n$ impair. Il n'est cependant pas rare de devoir connaître la forme du deuxième facteur et nous conseillons donc vivement de connaître ces deux formules.
- Un cas particulier de ces formules, souvent pratique, est celui où $b = 1$. Dans ce cas, on a
$$x^n - 1 = (x- 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1)$$ pour tout $n \in \mathbb{N}_0$ et
$$x^n + 1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\ldots-x+1)$$ seulement lorsque $n$ est impair.