Théorie > Géométrie > Triangles


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Lois des sinus et des cosinus Droites et points particuliers Aire d'un triangle Propriétés diverses

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7

Aire d'un triangle

La façon la plus courante de calculer l'aire d'un triangle est d'utiliser la formule $\displaystyle \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Malheureusement, cette formule s'applique rarement à un problème de géométrie, puisqu'il est rare qu'une hauteur du triangle auquel on s'intéresse soit déjà tracée. Il existe cependant d'autres formules pour calculer l'aire d'un triangle, la plus répandue étant certainement la suivante.

Soit $ABC$ un triangle de côtés $a = |BC|$, $b = |AC|$ et $c = |AB|$. L'aire de $ABC$ est donnée par
$$S = \frac{a\cdot b \cdot \sin C}{2}.$$

Démonstration :
Si $P$ désigne le pied de la hauteur de $ABC$ relative à $A$, alors le triangle $APC$ est rectangle et on a $|AP| = |AC| \cdot \sin{\widehat{ACP}}$. Dès lors, on a
$$S = \frac{1}{2}\cdot |BC| \cdot |AP| = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot |AC| \cdot \sin\widehat{ACB}.$$

On peut aussi combiner cette formule avec la loi des sinus qui nous dit que $\displaystyle \frac{c}{\sin C} = 2R$, pour obtenir directement :

Soit $ABC$ un triangle, $a$, $b$ et $c$ les longueurs de ses côtés, et $R$ le rayon de son cercle circonscrit. L'aire de $ABC$ est donnée par
$$S = \frac{abc}{4R}.$$

La formule de Héron, quant à elle, permet de calculer l'aire d'un triangle en connaissant uniquement la longueur de ses trois côtés!

Soit $ABC$ un triangle et $a$, $b$ et $c$ les longueurs de ses côtés. Si $p$ désigne le demi-périmètre de $ABC$, c'est-à-dire si $\displaystyle p = \frac{a+b+c}{2}$, alors l'aire de $ABC$ vaut
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$

Démonstration :
Par la première formule, on a $\displaystyle S = \frac{a\cdot b \cdot \sin C}{2}$. Il suffit alors d'utiliser la loi des cosinus nous apprenant que $\displaystyle \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ :
$$\begin{align}
S &= \frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin C \\
&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{1 - \cos^2 C}\\
& = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{(1-\cos C) (1+\cos C)}\\
&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sqrt{\left(1 - \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)\left(1 + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)}\\
&= \frac{1}{4} \cdot \sqrt{\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)}\\
&= \frac{1}{4} \cdot \sqrt{\left(c^2-(a-b)^2\right)\left((a+b)^2-c^2\right)}\\
&= \frac{1}{4} \cdot \sqrt{(c+a-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)}\\
&= \sqrt{\left(\frac{a-b+c}{2}\right)\left(\frac{-a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)}\\
&= \sqrt{(p-b)(p-a)p(p-c)}.
\end{align}$$
Enfin, il existe encore une quatrième formule, cette fois contenant le rayon du cercle inscrit au triangle.

Soit $ABC$ un triangle, $r$ le rayon de son cercle inscrit et $p$ son demi-périmètre. L'aire de $ABC$ vaut
$$S = pr.$$

Démonstration :
Notons $I$ le centre du cercle inscrit au triangle. L'aire de $ABC$ est égale à la somme des aires des triangles $ABI$, $BCI$ et $CAI$, et ceux-ci ont chacun une hauteur égale à $r$. On a donc
$$S(ABC) = S(ABI) + S(BCI) + S(CAI) = \frac{|AB|\cdot r}{2} + \frac{|BC| \cdot r}{2} + \frac{|CA| \cdot r}{2} = pr.$$