Théorie > Fondements > Ensembles, symboles et notations

Quantificateurs

Le symbole $\forall$ signifie "pour tout". Par exemple, "$\forall n \in \mathbb{N}$" signifie "pour tout nombre naturel $n$".
Plus précisément, cela veut dire que la proposition qui va suivre va être vraie quel que soit le naturel $n$ que l'on considère.

Le symbole $\exists$, quant à lui, signifie "il existe". Par exemple, "$\exists\ n \in \mathbb{Z}$" signifie "il existe un nombre entier $n$".
Cette fois-ci, cela veut dire qu'il existe un entier $n$ tel que la proposition qui suit est vraie. Cela ne signifie pas qu'il n'y en a qu'un seul : il pourrait y en avoir plusieurs.

Proposition avec quantificateur

Une proposition comportant des quantificateurs se sépare en deux parties. A gauche les quantificateurs séparés par des virgules, au milieu un ":" signifiant "tel(s) que" et à droite une sous-proposition.

Par exemple dans $\forall x \in \mathbb{R}, \exists\ y \in \mathbb{R}$ : $y = -x$, la partie gauche est $\forall x \in \mathbb{R}, \exists\ y \in \mathbb{R}$ et la partie droite est $y = -x$. Elle se lit donc "Pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ tel que $y = -x$" ou plus simplement "tout réel possède un opposé réel".

La sous-proposition peut bien entendu à nouveau contenir des quantificateurs et récursivement...

Importance de l'ordre

Dans la partie gauche, l'ordre des quantificateurs est d'une importance cruciale. Par exemple, la proposition $\forall x \in \mathbb{R}, \exists\ y \in \mathbb{R}$ : $y = x^2$ est vraie car elle signifie "pour tout réel, il existe un réel qui soit son carré" mais la proposition $\exists\ y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}$ : $y = x^2$ est fausse car elle signifie "il existe un réel qui soit le carré de tous les réels".

Remarque

On a l'impression que si une proposition est vraie avec $\forall$, elle l'est également avec $\exists$. Par exemple, $\forall n \in \mathbb{N}$ : $n \geq 0$ est vrai et $\exists\ n \in \mathbb{N}$ : $n \geq 0$ est vrai aussi.

Il existe pourtant certains cas astucieux où la proposition est vraie avec $\forall$ alors qu'elle est fausse avec $\exists$. C'est notamment le cas lorsqu'on manipule l'ensemble vide. Par exemple, $\forall n \in \emptyset$ : $n = n$ est vrai mais $\exists\ n \in \emptyset$ : $n = n$ est faux, car il n'y a aucun élément $n$ dans l'ensemble vide.