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Fonctions trigonométriques

Nous définissons dans cette section les différentes fonctions trigonométriques et en donnons les premières propriétés.

Fonctions sinus et cosinus

Etant donné un angle $\theta$, on peut lui associer un sinus et un cosinus. Pour définir ceux-ci, on représente l'angle $\theta$ dans le cercle unité centré en l'origine d'un repère orthonormé. Si $O$ est l'origine et $A$ le point de coordonnées $(1, 0)$, on prend $P$ le point du cercle tel que $\widehat{AOP} = \theta$. Il faut faire attention que l'on mesure ici les angles de manières orientées, dans le sens trigonométrique. Cela signifie que pour $\theta = 30^\circ$, on prend $P$ au dessus de $OA$ alors que pour $\theta = -30^\circ$, on le choisit en dessous de $OA$.

On définit alors le cosinus de $\theta$ comme étant l'abscisse du point $P$ et le sinus de $\theta$ comme étant son ordonnée. Pour les représenter, on projette généralement $P$ sur l'axe des abscisses (en notant $C$ sa projection) et sur l'axe des ordonnées (en notant $S$ sa projection), et le cosinus de $\theta$ est donné par $\pm|OC|$ ($+$ si $C$ se situe à droite de $O$ et $-$ sinon) alors que le sinus est égal à $\pm|OS|$ ($+$ si $S$ est au dessus de $O$ et $-$ sinon).


On peut facilement remplir le tableau de valeurs suivantes pour différents angles :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\theta \ \text{(en degrés)}& 0^\circ & 30^\circ & -30^\circ & 45^\circ & - 45^\circ & 60^\circ & -60^\circ & 90^\circ & -90^\circ \\[1mm]
\hline
\theta \ \text{(en radians)}& 0 & \frac{\pi}{6} & -\frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & -\frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & -\frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{2} \\[1mm]
\hline
\cos \theta & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \\
\hline
\sin \theta & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & -1 \\ \\
\hline
\end{array}$$ On a aussi plusieurs relations découlant directement de la définition du sinus et du cosinus :

$$\cos(-\theta) = \cos\theta,$$ $$\sin(-\theta) = -\sin\theta,$$ $$\cos(180^\circ - \theta) = - \cos \theta,$$ $$\sin(180^\circ-\theta) = \sin \theta,$$ $$\cos(90^\circ-\theta) = \sin \theta,$$ $$\sin(90^\circ-\theta) = \cos \theta.$$

Il n'est pas réellement nécessaire de retenir ces formules : on peut facilement les retrouver en examinant le cercle trigonométrique. Ainsi, si on désire exprimer le cosinus de $90^\circ + \theta$ en fonction du sinus ou du cosinus de $\theta$, il suffit de dessiner un angle du type $90^\circ + \theta$ sur le cercle (on le dessine généralement avec $\theta$ assez petit) et de voir s'il est plutôt égal à $\cos \theta$, $- \cos \theta$, $\sin \theta$ ou $- \sin \theta$. Pour notre exemple, on remarquera en fait que $\cos(90^\circ + \theta) = - \sin \theta$.

La relation la plus importante reliant le cosinus et le sinus est en fait la relation bien connue (valable pour tout $\theta$) :

$$\cos^2\theta + \sin^2 \theta = 1.$$

Il s'agit en fait simplement du théorème de Pythagore dans le triangle $OCP$ plus haut, puisque l'hypothénuse est de longueur $|OP| = 1$ alors que $|OC| = |\cos \theta|$ et $|CP| = |OS| = |\sin \theta|$.

Fonctions tangente et cotangente

Deux autres fonctions du même type que le sinus et le cosinus sont la tantente et la cotangente. On peut également leur donner une signification géométrique sur le cercle trigonométrique. Cette fois, on trace la droite $d$ tangente au cercle en $A$ et la droite $d'$ tangente au cercle en $B$, le point de coordonnées $(0, 1)$. On note alors $T$ l'intersection de $OP$ avec $d$ et $T'$ l'intersection de $OP$ avec $d'$, et la tangente de $\theta$ est donnée par $\pm|AT|$ alors que sa cotangente est donnée par $\pm |BT'|$. A nouveau on choisit le $+$ lorsqu'on est à droite ou au dessus et $-$ sinon.


Il faut tout de même remarquer que ces définitions n'ont parfois pas de sens. En effet, lorsque $\theta$ est un multiple de $180^\circ$, la droite $OP$ est parallèle à $d'$ et on ne peut alors pas définir la cotangente de $\theta$. De la même façon, si $\theta$ est du type $90^\circ + k \cdot 180^\circ$ avec $k$ entier, alors la droite $OP$ est parallèle à $d$ et on ne peut pas définir la tangente de $\theta$. On dit que la tangente ou la cotangente de ces angles n'existe pas.

On aurait en fait pu définir la tangente et la cotangente d'un angle sans interprétation géométrique, directement à partir de son sinus et de son cosinus. En effet, les triangles $OAT$ et $OCP$ sont semblables, et on a donc
$$\frac{|AT|}{|OA|} = \frac{|CP|}{|OC|},$$ ce qui devient (il faut discuter les signes mais ceux-ci sont bel et bien corrects) :
$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.$$ De la même façon pour les triangles semblables $OBT'$ et $OSP$, on a aussi
$$\mathrm{cotan} \ \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}.$$ On a donc la relation
$$\mathrm{cotan} \ \theta = \frac{1}{\tan \theta},$$ ce qui fait qu'on se contente généralement d'étudier la fonction tangente.

On peut, à partir des valeurs des sinus et cosinus des angles remarquables, trouver leur tangente et cotangente :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\theta \ \text{(en degrés)}& 0^\circ & 30^\circ & -30^\circ & 45^\circ & - 45^\circ & 60^\circ & -60^\circ & 90^\circ \\[1mm]
\hline
\theta \ \text{(en radians)}& 0 & \frac{\pi}{6} & -\frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & -\frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & -\frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\[1mm]
\hline
\tan \theta & 0 & \frac{\sqrt 3}{3} & - \frac{\sqrt 3}{3} & 1 & -1 & \sqrt 3 & - \sqrt 3 & / \\ \\
\hline
\mathrm{cotan} \ \theta & / & \sqrt 3 & - \sqrt 3 & 1 & -1 & \frac{\sqrt 3}{3} & - \frac{\sqrt 3}{3} & 0 \\ \\
\hline
\end{array}$$
On a également les formules suivantes, qui peuvent encore une fois être retrouvées facilement à partir du cercle trigonométrique :

$$\tan(-\theta) = -\tan \theta,$$ $$\mathrm{cotan} (-\theta) = -\mathrm{cotan} \ \theta,$$ $$\tan(180^\circ + \theta) = \tan \theta,$$ $$\mathrm{cotan} (180^\circ + \theta) = \mathrm{cotan}\ \theta,$$ $$\tan(90^\circ-\theta) = \mathrm{cotan} \ \theta,$$ $$\mathrm{cotan} \ (90^\circ-\theta) = \tan \ \theta.$$

Ces formules peuvent enfin également se révéler utiles :

$$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta},\quad \quad 1 + \mathrm{cotan}^2 \ \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta}.$$

Dans un triangle rectangle

Lorsqu'on est en présence d'un triangle rectangle $ABC$, on peut exprimer les différentes fonctions trigonométriques des deux angles aigus à partir des longueurs des côtés du triangle. Ces formules découlent de la définition des fonctions trigonométriques mais n'en sont pas moins primordiales.


Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$, on a
$$\sin\widehat{ABC} = \frac{|AC|}{|AB|},$$ $$\cos\widehat{ABC} = \frac{|BC|}{|AB|},$$ $$\tan\widehat{ABC} = \frac{|AC|}{|BC|}.$$

Un moyen mnémotechnique pour retenir ces formules est l'expression SOHCAHTOA. Il s'agit en effet des initiales de la suite de mot Sinus, Opposé, Hypothénuse - Cosinus, Adjacent, Hypothénuse - Tangente, Opposé, Adjacent, indiquant par exemple que le sinus d'un angle dans un triangle rectangle est égal à la longueur du côté opposé sur la longueur de l'hypothénuse.