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Grandes formules

Formules d'addition et de soustraction

Les fonctions trigonométriques de la somme et de la différence de deux angles se calculent comme suit :

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha,$$ $$\sin(\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha,$$ $$\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta,$$ $$\cos(\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta,$$ $$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta},$$ $$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}.$$

Nous n'en donnons pas les démonstrations car elles ne sont pas tout à fait évidentes, d'où l'importance de bien retenir ces formules.

Les formules de duplication suivantes, qui sont des conséquences des formules d'addition, sont elles-aussi très importantes :

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha,$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha,$$ $$\tan 2 \alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}.$$

La deuxième formule peut également se réécrire en utilisant le fait que $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$. On a alors
$$\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha.$$

Formules de Carnot

Nous avons vu comment passer d'une formule avec $2 \alpha$ à une formule avec $\alpha$. Parfois, c'est plutôt le contraire que l'on désire faire. Pour cela, on utilise les différentes formules que nous avons vues pour $\cos 2 \alpha$, et on trouve ainsi les formules de Carnot :

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2 \alpha}{2},$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2}.$$

On peut facilement retrouver celles-ci en connaissant parfaitement la formule pour $\cos 2\alpha$.

Formules en $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Les formules suivantes permettent, quant à elles, d'exprimer $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ et $\tan \alpha$ uniquement en fonction de $\displaystyle\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Si on se retrouve à devoir résoudre une équation impliquant plusieurs fonctions trigonométrques d'un même angle, on peut par exemple utiliser ces formules pour obtenir une équation ne faisant plus intervenir que la tangente de la moitié de l'angle. On peut alors remplacer cette tangente par une inconnue $x$ et résoudre l'équation pour $x$ (cela consistant souvent à trouver les racines d'un polynôme). Le degré du polynôme devient cependant vite élevé, ce qui empêche souvent une telle résolution (à moins qu'il n'ait des racines évidentes).

$$\sin \alpha = \frac{2 \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)},$$ $$\cos \alpha = \frac{1 - \tan^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)},$$ $$\tan \alpha = \frac{2 \tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}.$$

Formules de Simpson

Les formules de Simpson permettent de transformer une somme de deux fonctions trigonométriques en un produit. Cela se révèle utile si, par exemple, on doit résoudre une équation du type $\sin \alpha + \sin 5\alpha = 0$. On peut en effet dans un tel cas transformer la somme en un produit, ce qui simplifie largement la résolution de l'équation.

$$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right),$$ $$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right),$$ $$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right),$$ $$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).$$

Ces formules se démontrent simplement en combinant deux formules d'addition ou de soustraction. Il suffit en effet d'écrire
$$\alpha = \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) + \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \quad \text{ et } \quad \beta = \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) - \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$ et d'ainsi calculer $\sin \alpha$ ou $\cos \alpha$ comme un (co)sinus d'une somme ainsi que $\sin \beta$ ou $\cos \beta$. Les termes obtenus additionnés se simplifient pour donner les formules de Simpson.