Cercles d'Apollonius
Définition
Étant donné un triangle $ABC$, on peut tracer trois cercles particuliers. On définit en effet le $A$-cercle d'Apollonius comme étant le lieu des points $X$ tels que
$$\displaystyle \frac{|XB|}{|XC|} = \frac{|AB|}{|AC|}.$$ On définit le $B$-cercle d'Apollonius et le $C$-cercle d'Apollonius de la même manière.
Il n'est a priori pas évident que ces lieux sont effectivement des cercles, mais il s'agit en fait d'un simple exercice de géométrie analytique. Cela dit, ces cercles se dégénèrent parfois en une droite. Plus précisément, le $A$-cercle d'Apollonius prend la forme d'une droite si et seulement si $|AB| = |AC|$ et il s'agit simplement dans ce cas de la médiatrice de $[BC]$.
Ces cercles sont intéressants de par leurs propriétés. Intéressons-nous de plus près au $A$-cercle d'Apollonius. Par définition, on voit déjà directement qu'il passe par le point $A$. D'autre part, le théorème de la bissectrice nous apprend également que ce cercle passe par $A'$, l'intersection de la bissectrice intérieure de $A$ avec $BC$, et $A''$, l'intersection de la bissectrice extérieure de $A$ avec $BC$. Puisque $\widehat{A'AA''} = 90^\circ$, il s'agit donc simplement du cercle de diamètre $[A'A'']$. Ce cercle est représenté à droite sur la figure suivante.
Les trois cercles d'Apollonius associés à un triangle.
Comme on peut le voir sur cette figure, les trois cercles semblent se couper en exactement deux points. On peut en fait démontrer ce résultat sans trop de peine.
Dans le cas particulier où le triangle est équilatéral, les trois "cercles" sont les trois médiatrices du triangle et ils se rencontrent donc en un unique point.
$$\displaystyle \frac{|XB|}{|XC|} = \frac{|AB|}{|AC|}.$$ On définit le $B$-cercle d'Apollonius et le $C$-cercle d'Apollonius de la même manière.
Il n'est a priori pas évident que ces lieux sont effectivement des cercles, mais il s'agit en fait d'un simple exercice de géométrie analytique. Cela dit, ces cercles se dégénèrent parfois en une droite. Plus précisément, le $A$-cercle d'Apollonius prend la forme d'une droite si et seulement si $|AB| = |AC|$ et il s'agit simplement dans ce cas de la médiatrice de $[BC]$.
Ces cercles sont intéressants de par leurs propriétés. Intéressons-nous de plus près au $A$-cercle d'Apollonius. Par définition, on voit déjà directement qu'il passe par le point $A$. D'autre part, le théorème de la bissectrice nous apprend également que ce cercle passe par $A'$, l'intersection de la bissectrice intérieure de $A$ avec $BC$, et $A''$, l'intersection de la bissectrice extérieure de $A$ avec $BC$. Puisque $\widehat{A'AA''} = 90^\circ$, il s'agit donc simplement du cercle de diamètre $[A'A'']$. Ce cercle est représenté à droite sur la figure suivante.
Les trois cercles d'Apollonius associés à un triangle.
Comme on peut le voir sur cette figure, les trois cercles semblent se couper en exactement deux points. On peut en fait démontrer ce résultat sans trop de peine.
Proposition (cercles d'Apollonius)
Les trois cercles d'Apollonius d'un triangle (non équilatéral) se rencontrent en exactement deux points.
Démonstration
Soit $ABC$ un triangle non équilatéral, disons avec $|AB| \neq |AC|$. Par définition, on a directement que si un point appartient à deux des cercles, alors il appartient au troisième. En effet, si
$$\displaystyle \frac{|XB|}{|XC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \quad \text{ et } \quad \frac{|XA|}{|XB|} = \frac{|CA|}{|CB|},$$ alors il suffit de multiplier les deux égalités pour obtenir la troisième :
$$\displaystyle \frac{|XA|}{|XC|} = \frac{|BA|}{|BC|}.$$ Or, on se convainc facilement que les cercles ne sont pas tangents ni disjoints. En effet, comme $|AB| \neq |AC|$ le $A$-cercle d'Apollonius est bien un cercle. De plus, on a soit $C \in [A'A'']$, soit $B \in [A'A'']$, ce qui signifie que $B$ ou $C$ est à l'intérieur du $A$-cercle d'Apollonius. Puisque $B$ et $C$ sont chacun sur un des autres cercles, on a forcément deux points d'intersection.
$$\displaystyle \frac{|XB|}{|XC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \quad \text{ et } \quad \frac{|XA|}{|XB|} = \frac{|CA|}{|CB|},$$ alors il suffit de multiplier les deux égalités pour obtenir la troisième :
$$\displaystyle \frac{|XA|}{|XC|} = \frac{|BA|}{|BC|}.$$ Or, on se convainc facilement que les cercles ne sont pas tangents ni disjoints. En effet, comme $|AB| \neq |AC|$ le $A$-cercle d'Apollonius est bien un cercle. De plus, on a soit $C \in [A'A'']$, soit $B \in [A'A'']$, ce qui signifie que $B$ ou $C$ est à l'intérieur du $A$-cercle d'Apollonius. Puisque $B$ et $C$ sont chacun sur un des autres cercles, on a forcément deux points d'intersection.
Dans le cas particulier où le triangle est équilatéral, les trois "cercles" sont les trois médiatrices du triangle et ils se rencontrent donc en un unique point.