Théorie > Géométrie > Cercles d'Apollonius


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Points théoriques

Définition Triangle podaire Droite de Lemoine

Exercices

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Triangle podaire

Il existe un lien entre les cercles d'Apollonius et la notion de triangle podaire. Rappelons que si $ABC$ est un triangle et $P$ un point, le triangle podaire $A'B'C'$ est défini en considérant les projections de $P$ sur les trois côtés du triangle, comme dans la figure suivante.



Comme nous l'avons déjà constaté, les longueurs des côtés de $A'B'C'$ sont données par les formules suivantes
$$|B'C'| = |PA| \cdot \sin \hat A, \quad |C'A'| = |PB| \cdot \sin \hat B, \quad |A'B'| = |PC| \cdot \sin \hat C.$$ On peut notamment en déduire que $|A'B'| = |A'C'|$ si et seulement si
$$1 = \frac{|A'B'|}{|A'C'|} = \frac{|PC| \cdot \sin \hat C}{|PB| \cdot \sin \hat B} = \frac{|PC|\cdot |AB|}{|PB| \cdot |AC|},$$ c'est-à-dire si et seulement si
$$\frac{|PC|}{|PB|} = \frac{|AC|}{|AB|}.$$ Nous venons donc de prouver que le triangle podaire $A'B'C'$ est isocèle en $A'$ si et seulement si $P$ se situe sur le $A$-cercle d'Apollonius de $ABC$.

En particulier, le triangle $A'B'C'$ est équilatéral si et seulement si $P$ est l'un des deux points d'intersection des trois cercles d'Apollonius.

Il n'y aura bien sûr jamais un énoncé de géométrie contenant le terme Cercle d'Apollonius, mais l'intérêt de ceux-ci est que leur connaissance peut permettre de trouver plus rapidement une solution à un problème. Par exemple, si un triangle podaire est construit d'une façon ou d'une autre dans un énoncé (en projetant un même point $P$ sur plusieurs droites) et si celui-ci se révèle être isocèle, alors on peut directement en conclure que $P$ est sur le cercle d'Apollonius correspondant. On a donc un cercle passant par $P$ et plusieurs points remarquables, ce qui peut permettre de continuer avec une chasse aux angles, des puissances de points ou d'autres outils habituels...