Théorie > Combinatoire > Coefficients binomiaux


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Introduction Binôme de Newton Triangle de Pascal

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Binôme de Newton

La formule de Newton permet de directement trouver les coefficients apparaissant dans le développement de l'expresson $(x+y)^n$, pour $n$ entier. Il est bien connu que $$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$$ ou encore que
$$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3,$$ et la formule du binôme de Newton traîte le cas de la puissance $n$ en général.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on a le développement
$$(x+y)^n = C^0_n \cdot x^n + C^1_n \cdot x^{n-1} y + \ldots + C^{n-1}_n \cdot x y^{n-1} + C^n_n \cdot y^n,$$ ce qui s'écrit, à l'aide du signe somme,
$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n C^k_n \cdot x^k y^{n-k}.$$

Notons déjà que $C^0_n = C^n_n = 1$ pour tout $n$, les exposants de $x^n$ et $y^n$ dans le développement seront donc toujours égaux à $1$.

Démonstration :
Nous commençons par donner le raisonnement dans le cas où $n = 3$, pour qu'il soit plus clair dans le cas général. Lorsqu'on développe
$$(x+y)^3 = (x+y) \cdot (x+y) \cdot (x+y),$$ on obtient huit termes :
$$xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy.$$ Dans chacun de ces termes, le nombre de $x$ et le nombre de $y$ dépendent uniquement de si on a choisi l'élément $x$ ou l'élément $y$ dans chaque parenthèse $(x+y)$. Si on désire compter le nombre de termes avec deux $y$ (c'est-à-dire le coefficient de $xy^2$), alors il faut calculer le nombre de façons de choisir $x$ ou $y$ dans chaque parenthèse de sorte qu'on ait choisi une fois $x$ et deux fois $y$. Autrement dit, il s'agit du nombre de façons de choisir $2$ objets parmi $3$ (les objets sont les différents $(x+y)$ et on doit choisir ceux pour lesquels on prend $y$), c'est-à-dire $C^2_3$.

Dans le cas général, on a
$$(x+y)^n = \underbrace{(x+y)\cdot \ldots \cdot (x+y)}_{n \text{ fois}}.$$ Cette fois, le coefficient de $x^{n-k}y^k$ est égal au nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ : encore une fois, on choisit les parenthèses pour lesquelles on prend $y$. Ce coefficient est donc égal à $C^k_n$.

On a alors le corollaire immédiat suivant :

Pour $n \in \mathbb{N}$, on a
$$C^0_n + C^1_n + \ldots + C^{n-1}_n + C^n_n = 2^n.$$

Démonstration :
Il suffit de prendre $x = y = 1$ dans le binôme de Newton.