Théorie > Algèbre > Nombres complexes

Définitions

Introduction

Bien que cette vision des choses soit fortement romancée, on peut comprendre l'intérêt des nombres complexes en observant la suite d'équations suivante :
  • L'équation $x - 17 = 0$ a une solution dans l'ensemble des nombres naturels $\mathbb{N}$.
  • L'équation $x + 17 = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}$. On a donc inventé les nombres entiers négatifs et l'ensemble $\mathbb{Z}$.
  • L'équation $2x+17 = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}$. On a donc inventé les nombres rationnels et l'ensemble $\mathbb{Q}$.
  • L'équation $2x^2-17 = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Q}$. On a donc inventé les nombres réels et l'ensemble $\mathbb{R}$.
  • L'équation $2x^2+17 = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$. C'est pourquoi on invente les nombres complexes et l'ensemble $\mathbb{C}$.
Et nous serons en quelque sorte arrivés au bout de ce processus car, comme nous le verrons plus tard avec le théorème fondamental de l'algèbre, tous les polynômes auront une solution dans $\mathbb{C}$ (et nous n'inventerons donc plus de nouvel ensemble strictement plus grand que $\mathbb{C}$, du moins pas dans ce contexte).

Définitions

Il existe de nombreuses manières d'introduire les nombres complexes. Nous donnons ici la façon la plus simple, qui n'est par conséquent pas totalement rigoureuse.
Pour définir les nombres complexes, on commence par introduire un nouveau nombre (c'est-à-dire non réel), appelé unité imaginaire, et noté $i$. On lui donne par ailleurs la propriété fondamentale suivante, qu'aucun réel ne vérifie :
$$i^2 = -1.$$ L'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes peut alors être défini par
$$\mathbb{C} := \{a + ib \mid a, b \in \mathbb{R}\}.$$ Les nombres $3+5i$, $\sqrt{2} - i$, $3i$, $18$, sont donc tous des nombres complexes. En particulier, tous les nombres réels sont des nombres complexes (en prenant $b = 0$).

Lorsque $z = a+ib$, on dit que $a$ est la partie réelle de $z$ et on la note $\mathfrak{Re}(z)$. D'autre part $b$ est la partie imaginaire de $z$ et on la note $\mathfrak{Im}(z)$. Un nombre complexe est donc réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Par contre, quand un nombre complexe a une partie réelle nulle, on dit qu'il est imaginaire pur (puisqu'il n'a aucune partie réelle).

Il est très simple de manipuler les nombres complexes. On peut utiliser tout ce que l'on connaît pour les nombres réels, et il faut juste garder à l'esprit que l'on a une nouvelle règle : $i^2 = -1$.

Addition
On peut facilement additionner deux nombres complexes :
$$(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d).$$
Multiplication
On peut aussi les multiplier entre eux :
$$(a+ib) \cdot (c + id) = ac + ibc + iad + i^2 bd = (ac - bd) + i(bc+ad).$$
Division
Il est également possible de diviser un nombre complexe par un autre, tant que ce dernier est non-nul. Cela paraît plus compliqué, mais on peut en fait utiliser la même astuce que celle généralement enseignée pour faire disparaître une racine du dénominateur : multiplier par le binôme conjugué. En effet, lorsqu'on est en présence d'une fraction du type $\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$, on conseille généralement de multiplier le numérateur et le dénominateur par $(2+\sqrt{2})$ de sorte que la formule $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ s'applique et que la racine carrée disparaisse du dénominateur. On peut utiliser la même méthode pour les nombres complexes : si $(a+ib)$ apparaît au dénominateur, alors on multiplie numérateur et dénominateur par $(a-ib)$ pour faire disparaître l'unité imaginaire du dénominateur :
$$\frac{c+id}{a+ib} = \frac{(c+id)(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)} = \frac{(ac+bd) + i(ad-bc)}{a^2 - (ib)^2} = \frac{ac+bd}{a^2 + b^2} + i\frac{ad-bc}{a^2 + b^2}$$
Inverse
En particulier, alors que cela n'était pas évident au moment de la définition des nombres complexes, tout nombre complexe non nul possède un inverse. En effet, l'inverse de $z = a+ib$ est donné par la formule précédente par
$$z^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2} - i \frac{b}{a^2+b^2}.$$
Remarque : Il n'est pas nécessaire de retenir toutes ces formules! En effet, celles-ci peuvent facilement être retrouvées au moment voulu en utilisant simplement $i^2 = -1$. La dernière formule pour trouver l'inverse d'un nombre complexe permet cependant de se simplifier les calculs.

Remarque

Cette définition n'est pas réellement rigoureuse, car il n'est pas tout à fait clair que toutes les opérations usuelles soient bien définies. Pour avoir une définition plus rigoureuse, on peut par exemple introduire les nombres complexes en disant qu'il s'agit s'implement des couples de réels $(a, b) \in \mathbb{R}^2$. Il faut alors définir l'addition et la multiplication des complexes en disant que
$$(a,b) + (c, d) = (a+c, b+d),$$ $$(a, b) \cdot (c, d) = (ac-bd, ad+bc).$$ La définition de la multiplication des complexes peut dans ce contexte sembler un peu effrayante, et c'est pourquoi nous n'avons pas choisi cette approche ici, mais elle est bien sûr équivalente. Il reste alors à dire qu'au lieu de noter $(a, b)$, on préfère écrire $a+ib$, et on voit par la définition de multiplication que
$$i^2 = i \cdot i = (0,1) \cdot (0,1) = (-1, 0) = -1.$$