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Racines carrées

Racines carrées d'un réel

Par définition, une racine carrée d'un nombre réel $r$ est un nombre dont le carré vaut $r$. Si on s'intéresse aux racines carrées réelles d'un nombre réel, alors il y a plusieurs cas à discuter :
  1. Un nombre $r > 0$ possède exactement deux racines carrées : $\sqrt{r}$ et $-\sqrt{r}$.
  2. Le nombre $r = 0$ ne possède qu'une seule racine carrée : lui-même.
  3. Un nombre $r < 0$ ne possède aucune racine carrée réelle.
Si maintenant, on s'autorise à avoir des racines carrées complexes, alors les nombres négatifs ont (tout comme les nombres positifs) exactement deux racines carrées! Pour s'en convaincre, il suffit de résoudre l'équation $x^2 = r$ avec $r < 0$. Celle-ci se réécrit en fait ($\sqrt{-r}$ désigne la racine carrée positive usuelle de $-r$, qui est un nombre positif) :
$$\begin{align}
& x^2 - r = 0\\
\Leftrightarrow \ & x^2 - \left(i \sqrt{-r}\right)^2 = 0 \\
\Leftrightarrow \ & \left( x - i \sqrt{-r} \right) \cdot \left( x + i \sqrt{-r} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \ & x = i \sqrt{-r} \quad \text{ou} \quad x = -i \sqrt{-r}.
\end{align}$$ Les deux racines carrées de $r < 0$ sont donc $i \sqrt{-r}$ et $- i \sqrt{-r}$. Par exemple, les racines carrées de $-3$ sont $i \sqrt{3}$ et $-i \sqrt{3}$.

La situation est en fait presque plus claire dans les complexes que dans les réels : tous les nombres non nuls (positifs ou négatifs) possèdent exactement deux racines carrées opposées l'une de l'autre.

Racines carrées d'un complexe

Intéressons-nous à présent aux racines carrées des complexes non-réels. On considère $c = a+ib$ avec $b \neq 0$ et on cherche ses racines carrées. Cela revient à chercher $z \in \mathbb{C}$ tel que $z^2 = c$. Si on note $z = x+iy$, alors on a $z^2 = x^2-y^2+2ixy$ et l'égalité $z^2 = c$ a lieu si et seulement si
$$\left\{\begin{array}{c}
x^2-y^2 = a \quad (1)\\
2xy = b \quad (2)
\end{array}\right.$$ En fait, on sait aussi que $x$ et $y$ satisfont toujours aussi
$$x^2+y^2 = |z|^2 = |z^2| = |c| = \sqrt{a^2+b^2} \quad (3)$$ En combinant $(1)$ et $(3)$, on trouve $x^2$ et $y^2$ et par suite
$$\left\{\begin{array}{c}
x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}\\
y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}
\end{array}\right.$$ Cependant, les $4$ choix de signes ne sont pas possibles, car $x$ et $y$ sont également liés par $(2)$. Si $b > 0$, il faut choisir le même signe pour $x$ et $y$ alors que si $b < 0$, il faut choisir des signes différents. Si la notation $\mathrm{sgn}(b)$ vaut $+1$ ou $-1$ selon que $b$ est positif ou négatif, on a finalement la formule finale
$$z = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} + \mathrm{sgn}(b) \cdot i \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right).$$ On a donc là aussi, quelles que soient les valeurs de $a$ et $b$ (c'est-à-dire quel que soit $c$), exactement deux racines carrées opposées l'une de l'autre.

Remarques :
  1. Il ne faut pas retenir la formule précédente donnant les deux racines carrées d'un nombre complexe! Il est en effet bien plus facile de refaire le raisonnement à chaque fois, en remplaçant directement $a$ et $b$ par leurs valeurs numériques (ce qui simplifie les expressions).
  2. La notation $\sqrt{r}$, lorsque $r$ est réel, désigne la racine carrée positive de $r$. Dans le cas complexe, il n'y a plus de notion de positif ou négatif (on ne peut pas dire que le nombre $5-3i$ est positif ou négatif...). Pour cette raison, lorsque $c \in \mathbb{C}$, la notation $\sqrt{c}$ n'a pas de sens, puisqu'on ne sait laquelle des deux racines cette notation désigne! On peut éventuellement l'utiliser lorsqu'on la précède du signe $\pm$, pour désigner les deux racines à la fois. La formule $\sqrt{-1} = i$ trop souvent écrite est donc à proscrire! Pourquoi n'aurait-on pas plutôt $\sqrt{-1} = -i$ ?