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Conjugué et module

Etant donné un nombre complexe $z$, on peut définir son conjugué $\bar{z}$ et son module $|z|$. Ces deux notions interviennent fréquemment dans les différents calculs sur les complexes et connaître les propriétés associées à ces concepts est toujours utile.

Conjugué

Si $z = a+ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$, alors le conjugué de $z$ est le nombre complexe $\bar{z} = a-ib$. Nous avons déjà utilisé cette notion sans la nommer au moment d'expliquer la division de deux nombres complexes. Les propriétés suivantes sont fondamentales et se vérifient aisément à partir de la définition :
  • Conjuguer un complexe deux fois de suite revient à ne rien faire : $\overline{\bar{z}} = z$.
  • Un nombre est égal à son conjugué si et seulement s'il est réel : $\bar{z} = z \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}$.
  • Un nombre est égal à l'opposé de son conjugué si et seulement s'il est imaginaire pur : $\bar{z} = -z \Leftrightarrow z \in i\mathbb{R}$.
  • Le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués : $\overline{z\pm z'} = \bar{z}\pm \bar{z'}$.
  • Le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués : $\overline{z\cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$.
  • Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués : $\displaystyle \overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$.
Les deux derniers points sont un peu moins évidents mais il suffit d'écrire $z = a+ib$ et $z' = a'+ib'$ et d'effectuer les calculs pour vérifier les égalités.

La notion de conjugué permet notamment de parler de la partie réelle et de la partie imaginaire de $z$ sans avoir recours à son écriture sous la forme $z = a+ib$. En effet, on a les formules
$$\mathfrak{Re}(z) = \frac{z+\bar{z}}{2} \quad \text{et} \quad \mathfrak{Im}(z) = \frac{z-\bar{z}}{2i},$$ puisque
$$\frac{a+ib+a-ib}{2} = a \quad \text{et} \quad \frac{a+ib-(a-ib)}{2i} = b.$$

Module

Si $z = a+ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$, alors le module de $z$ est le nombre réel positif $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$. La notation rappelle fortement celle de valeur absolue, et ce n'est pas un hasard. En effet, si $z = a \in \mathbb{R}$, alors $|z| = \sqrt{a^2} = |a|$ (au sens de la valeur absolue), ce qui montre que la notion de module sur les complexes est en fait une généralisation de celle de valeurs absolue sur les réels. Là aussi, on a quelques propriétés élémentaires :
  • Le seul nombre dont le module est nul est le nombre nul lui-même : $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$.
  • Le module du conjugué d'un complexe est égal au module du complexe : $|\bar z| = |z|$.
  • Le module d'un produit est égal au produit des modules : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$.
  • Le module d'un quotient est égal au quotient des modules : $\displaystyle\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$.
  • Le module d'une somme est inférieur ou égal à la somme des modules : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$.
On a aussi la propriété intéressante suivante :
$$z \cdot \bar z = |z|^2$$ En effet, si $z = a+ib$ alors
$$z \cdot \bar z = (a+ib)\cdot (a-ib) = a^2-(ib)^2 = a^2+b^2 = |z|^2.$$ Si $z \neq 0$, alors on peut notamment en déduire que
$$\frac{1}{z} = \frac{\bar z}{|z|^2},$$ ce qui donne une formule plus pratique pour l'inverse d'un nombre complexe. On remarque en remplaçant $z$ par $a+ib$ qu'on retrouve exactement la même formule que celle donnée précédemment.