Théorie > Algèbre > Polynômes


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Définition et divisibilité Racines Second degré Théorème fondamental

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7

Second degré

Il n'est en général pas facile de trouver les racines d'un polynôme quelconque. Cela dit, il est tout de même possible de déterminer les racines d'un polynôme de degré $2$ (cela étant trivial pour les polynômes de degré $1$). Nous donnons le résultat pour les polynômes à coefficients complexes, mais il est en fait également vrai sur un corps commutatif quelconque (sous certaines conditions).

Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ un polynôme de $\mathbb{C}[x]$ de degré $2$ (c'est-à-dire avec $a \neq 0$). Les racines de $P$ sont données par
$$\frac{-b + \delta}{2a} \quad \text{et} \quad \frac{-b - \delta}{2a},$$ où $\delta$ est une racine carrée (éventuellement complexe) de $\Delta := b^2 - 4ac$, appelé discriminant.

Démonstration :
L'idée est de faire apparaître un carré parfait. Pour cela, on écrit
$$\begin{align}
P(x) &= ax^2 + bx + c \\
&= a\left(x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}\right) \\
&= a\left(x^2 + 2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right) \\
&= a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 -4ac}{4a^2} \right).
\end{align}$$ Le nombre $b^2 - 4ac$, que l'on appelle discriminant, est un nombre complexe. Il possède donc deux racines carrées (ou une s'il est nul) et on en note une $\delta$. On peut alors continuer notre raisonnement :
$$\begin{align}
P(x) &= a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\delta^2}{4a^2} \right)\\
&= a\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\delta}{2a} \right) \left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\delta}{2a} \right)\\
&= a\left(x - \frac{-b-\delta}{2a} \right) \left(x - \frac{-b+\delta}{2a} \right)
\end{align}$$ On a donc $P(x) = 0$ si et seulement si $x$ est d'une des deux formes de l'énoncé.

Il existe aussi des formules (ou plutôt des méthodes) pour trouver les racines d'un polynôme de degré $3$ ou $4$. Celles-ci sont cependant beaucoup plus compliquées que celle pour le second degré, et cela ne vaut pas la peine de les connaître. Un résultat remarquable dû aux travaux de Galois est qu'il n'existe en fait pas de formule ou méthode générale pour trouver les racines d'un polynôme de degré supérieur ou égal à $5$. Par exemple, on peut montrer qu'il n'est pas possible d'exprimer les racines du polynôme $P(x) = x^5 - 3x - 1$ à l'aide des opérations usuelles et de radicaux.