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Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Notion d'inverse Équation linéaire Théorème des restes chinois Exemples concrets

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6

Exemples concrets

Il existe beaucoup d'exemples de problèmes dont la résolution est un appel direct au théorème des restes chinois. C'est d'ailleurs car ce type de problème apparaît assez naturellement que les mathématiciens se sont attachés à leur trouver une solution générale.

L'armée de Han Xin

On associe parfois le problème résolu par le théorème au général chinois Han Xin comptant son armée. Celle-ci étant gigantesque, en compter les membres un par un ne semblait pas envisageable. Pour remédier à cela, une solution est donc de demander aux militaires de se placer en rangs de différentes façons et d'observer le nombre d'hommes qui n'ont pas su se ranger. Le problème peut donc se voir par exemple de la sorte :

Lorsque les militaires se placent en rangs de $5$, il en reste $2$ qui n'ont pas su se ranger. En rangs de $7$, il en reste $3$, En rangs de $8$, il en reste $6$, en rangs de $9$, il en reste un seul, en rangs de $11$, il n'en reste pas, et en rangs de $13$, il en reste $8$. Sachant que l'armée de Han Xin comporte moins de $300.000$ soldats, combien sont-ils exactement?

On cherche ici un nombre entier $x$ compris entre $0$ et $300.000$ respectant les conditions :
$$\left\{\begin{align}
x &\equiv 2 \pmod 5 \\
x &\equiv 3 \pmod 7 \\
x &\equiv 6 \pmod 8 \\
x &\equiv 1 \pmod 9 \\
x &\equiv 0 \pmod {11} \\
x &\equiv 8 \pmod {13}
\end{align}\right.$$ Comme les nombres $5, 7, 8, 9, 11, 13$ sont premiers entre eux deux à deux, le théorème des restes chinois nous indique qu'il existe une unique solution modulo $5\cdot7\cdot8\cdot9\cdot11\cdot13 = 360.360$. Avec un peu de courage, on peut trouver en suivant la méthode expliquée précédemment que l'armée de Han Xin compte dans notre exemple exactement $254.782$ soldats.

Concordance de calendriers

On pense aussi que l'astronomie est une autre motivation des Chinois à résoudre ce genre de problème. En effet, on est vite amené à se poser des questions du type :

Quand verrons-nous une pleine lune le jour du nouvel an?

Si nous sommes par exemple un $30$ janvier et qu'une pleine-lune est prévue après-demain, alors le problème peut se réécrire (en oubliant les années bissextiles)
$$\left\{\begin{align}
x &\equiv -29 \pmod{365}\\
x &\equiv 2 \pmod{28}
\end{align}\right.$$ où $x$ est le nombre de jours qu'il faudra attendre avant d'observer un tel phénomène. En effet, il y a eu un nouvel an il y a $29$ jours, et ceux-ci se répètent tous les $365$ jours. De la même façon, il y aura une pleine lune dans deux jours et celles-ci se produisent tous les $28$ jours. Pour cet exemple, on trouve $x = 1066$ ce qui signifie que l'on observera une pleine lune le jour du nouvel an dans un peu moins de $3$ ans.

Le butin des pirates

Un autre exemple type, bien que plus anecdotique, est le suivant (merci Wikipédia pour l'énoncé).

Une bande de 17 pirates possède un trésor constitué de pièces d'or d'égale valeur. Ils projettent de se les partager également, et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors 3 pièces. Mais les pirates se querellent, et six d'entre eux sont tués. Un nouveau partage donnerait au cuisinier 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le trésor, six pirates et le cuisinier sont sauvés, et le partage donnerait alors 5 pièces d'or à ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s'il décide d'empoisonner le reste des pirates ?

Si $x$ désigne cette fois-ci le nombre de pièces que comporte le trésor, le problème s'écrit cette fois-ci :
$$\left\{\begin{align}
x &\equiv 3 \pmod {17}\\
x &\equiv 4 \pmod {11}\\
x &\equiv 5 \pmod 6
\end{align}\right.$$ A nouveau, on peut utiliser le théorème des restes chinois et trouver $x = 785$ comme unique solution modulo $6\cdot11\cdot17 = 1122$. Le cuisinier peut donc espérer au moins $785$ pièces en commettant son crime..