Théorie > Algèbre > Suites


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Définition Suites récurrentes linéaires Suite de Fibonacci Périodicité et convergence

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7

Définition

Une suite est simplement une succession d'éléments indicée par les nombres naturels (le premier indice étant parfois $0$, parfois $1$) :
$$a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n, a_{n+1}, \ldots$$ On note généralement une telle suite par $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ si le premier indice est $0$ et par $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ si le premier indice est $1$. On raccourcit souvent la notation en notant simplement $(a_n)$. La plupart du temps, les éléments $a_n$ sont réels, mais il n'est bien sûr pas interdit qu'il s'agisse de nombres complexes ou même de choses plus particulières. On pourrait par exemple avoir une suite de polynômes (chaque $a_n$ serait un polynôme).

Lorsque l'on introduit une suite particulière, on ne donne évidemment pas les éléments un par un. Il y a en fait plusieurs manières de donner une suite :

  1. On peut définir une suite en donnant une formule dépendant de $n$. Par exemple :

    • Les premiers éléments de la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $a_n = n^2 + 1$ sont $1, 2, 5, 10, 17, 26, \ldots$

    • Les premiers éléments de la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $a_n = \frac{n}{2^n}$ sont $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}, \frac{5}{32}, \ldots$

    • On peut aussi définir la suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $P_n(x) = x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1$.

  2. On peut définir une suite en donnant la valeur des premiers éléments ainsi qu'une relation de récurrence. Par exemple :

    • La suite $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et $F_n = F_{n-1}+F_{n-2}$ pour $n \geq 2$ est la suite de Fibonacci dont les premiers éléments sont
      $$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots$$

    • La suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $a_0 = 1$, $a_1 = 2$ et $a_n = a_{n-1}a_{n-2} - 3$ pour $n \geq 2$ a pour premiers éléments
      $$1, 2, -1, -5, 2, -13, -29, 374, \ldots$$

  3. On peut également utiliser une des deux méthodes précédentes mais de manière un peu plus énigmatique, en ne donnant pas explicitement une formule.

    • La suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ définie par $a_n = $ nombre de puissances $n$-èmes parfaites positives ayant exactement $n$ chiffres et contenant le dernier chiffre de $n$. On peut trouver les premiers éléments de cette suite (mais il ne semble a priori pas évident de trouver la formule générale) :
      $$1, 1, 1, 2, 1 \ldots$$

    • La suite $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de nombres entiers définie par $c_0 = 0$ et, pour $n \geq 1$, $c_n = 1 + d$ où $d$ est le dernier chiffre de $c_0+c_1+ \ldots+ c_{n-1}$ a pour premiers éléments
      $$0, 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \ldots$$