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Points théoriques

Points particuliers Fonction de fonction Multigraphes

Exercices

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Points particuliers

Etudier certains ensembles de points particuliers peut s'avérer très utile dans certains problèmes. Par points particuliers, il faut comprendre les racines de $f$ (c'est-à-dire les $x$ tels que $f(x) = 0$), ou ses points fixes (c'est-à-dire les $k$ tels que $f(k)=k$), ou d'autres points respectant une propriété commune. Un bon exemple vaut mieux qu'un long discours.

Exemple d'utilisation

Exemple : Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(f(x)+x)=f(x)+x$ et $f(f(2x)-x)=x-2f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

La première condition nous incite à étudier les points fixes. Supposons que $k \in \mathbb{R}$ soit tel que $f(k)=k$. Alors, par la première condition, $f(f(k)+k)=f(k)+k$, ce qui implique $f(2k)=2k$. La deuxième condition nous donne alors $f(f(2k)-k)=k-2f(k)$, ce qui implique $f(k)=-k$. On a donc $k = f(k) = -k$ d'où $k = 0$, et nous venons de montrer que si $k$ est un point fixe, alors $k = 0$. Autrement dit, l'unique point fixe éventuel de $f$ est $0$ :
$$\{k \in \mathbb{R} \ | \ f(k)=k\} \subseteq \{0\}.$$ Or, la première condition nous dit justement que $f(x)+x$ est un point fixe pour tout $x \in \mathbb{R}$. Cela signifie donc que $f(x)+x=0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, c'est-à-dire que $f(x)=-x$. La seule solution possible est donc $f(x)=-x$. N'oublions pas de vérifier qu'il s'agit bien d'une solution :
$$f(f(x)+x)=f(0)=0=f(x)+x \ \text{ et } \ f(f(2x)-x)=f(-3x)=3x=x-2f(x)$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. L'unique solution est donc $f(x) = -x$.

Remarque : En général, quand on étudie les points fixes (ou les racines), rien ne nous garantit qu'il en existe. Nous disons juste : si $k$ est un hypothétique point fixe, alors il respecte telle ou telle condition (dans notre exemple $k=0$). Il se pourrait même qu'on arrive à des conditions contradictoires pour $k$. On aurait dès lors prouvé qu'il n'existe aucun point fixe, ce qui peut toujours se révéler utile par la suite!