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Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Points particuliers Fonction de fonction Multigraphes

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Fonction de fonction

Supposons que dans un problème, nous ayons obtenu une égalité du type
$$f(f(x))= \ldots$$ Dans ce cas, une astuce très souvent utile est de calculer $f(f(f(x)))$ de deux manières différentes :
$$f \bigg( f(f(x)) \bigg) = f\bigg(f \bigg( f(x) \bigg) \bigg).$$

Exemple d'utilisation

Pour être plus clair, prenons un exemple. Supposons qu'on sache que $f$ respecte l'équation
$$f(f(x))=3x+1$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Nous pouvons alors dire que
$$f(f(f(x))) = f \bigg( f(f(x)) \bigg) = f(3x+1),$$ mais aussi, en substituant $x$ par $f(x)$ dans l'équation $f(f(x))=3x+1$, que
$$f(f(f(x))) = f\bigg(f \bigg( f(x) \bigg) \bigg) =3f(x)+1.$$ Nous en déduisons donc que
$$f(3x+1)=3f(x)+1$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, ce qui est évidement une information utile.