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Preuve directe

L'essentiel des assertions mathématiques sont de la forme $P \Rightarrow Q$, en ce sens que l'on possède une (ou plusieurs) hypothèse(s) $P$ et que l'on désire montrer la thèse $Q$.

La technique la plus naturelle pour démontrer une telle assertion est la preuve directe. Elle consiste simplement à supposer que $P$ est vrai, à faire des déductions logiques à partir de cette hypothèse et à parvenir à montrer que $Q$ est vrai.

Exemple : Montrer que si $x$ et $y$ sont des nombres impairs, alors $x+y$ est un nombre pair.

Supposons que $x$ et $y$ soient effectivement des nombres impairs. Il existe donc des entiers $k$ et $l$ tels que
$$x = 2k+1 \quad \text{et} \quad y = 2l+1.$$ On a alors
$$x+y = 2k+1+2l+1 = 2k+2l+2 = 2(k+l+1),$$ ce qui montre que $x+y$ est un nombre pair.