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Preuve par l'absurde

La preuve par l'absurde, aussi appelée preuve par contradiction, se rapproche assez de la preuve par contraposition (et il n'y a parfois pas de réelles différences entre les deux). Elle consiste, lorsqu'on veut montrer que $P \Rightarrow Q$, à supposer que $P$ est vrai mais que $Q$ est faux, et à trouver une contradiction. Là aussi, cette technique peut servir lorsque la thèse $Q$ semble compliquée à démontrer directement. Il est alors plus simple de supposer que $Q$ n'est pas vérifié.

Exemple : Montrer que la racine carrée d'un nombre premier est un nombre irrationnel.

On suppose que $p$ est un nombre premier mais que sa racine carrée $\sqrt p$ n'est pas irrationnelle, c'est-à-dire qu'elle est rationnelle. On note alors $\displaystyle \sqrt{p} = \frac{a}{b}$ (où il s'agit d'une fraction irréductible) et on en déduit que
$$\begin{align}
& p = \frac{a^2}{b^2}\\[1mm]
\Leftrightarrow \ & pb^2 = a^2
\end{align}$$ Il suit que $a^2$ est divisible par $p$ et, comme $p$ est premier, cela implique que $a$ est lui-même divisible par $p$. On note alors $a = pa'$ avec $a' \in \mathbb{Z}$ et on a
$$\begin{align}
& pb^2 = p^2 a'^2\\[1mm]
\Leftrightarrow \ & b^2 = p a^2
\end{align}$$ A nouveau, cela signifie que $b^2$ est divisible par $p$, et par conséquent $b$ également. Les nombres $a$ et $b$ sont donc tous les deux divisibles par $p$, ce qui est absurde car nous avions supposé que la fraction $\displaystyle \frac{a}{b}$ était irréductible.