Théorie > Théorie des nombres > Équations diophantiennes


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Introduction Triplets pythagoriciens Descente infinie Équation de Pell

Exercices

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Descente infinie

La descente infinie est une méthode permettant de prouver qu'une équation diophantienne ne possède pas de solutions. En fait, cette méthode peut également être utilisée dans d'autres contextes. L'idée est d'associer, à toute solution $s$ (on suppose a priori qu'il en existe), un certain entier $n(s) \in \mathbb{N}$ et de montrer qu'à partir de toute solution $s$, on peut construire une autre solution $s'$ telle que $n(s') < n(s)$. On obtient ainsi une suite strictement décroissante d'entiers naturels, ce qui est absurde (une telle suite n'existant pas). Une autre façon de trouver une contradiction est de considérer une solution $s$ minimisant $n(s)$ et de conclure en contredisant la minimalité à partir de $s'$.

Exemple d'application

La descente infinie peut par exemple être utilisée pour montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel (même s'il est possible de procéder sans). En effet, on procède par l'absurde en supposant que $\sqrt{2}$ est rationnel, ce qui signifie qu'il existe $p, q \in \mathbb{N}$ tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, ce qui s'écrit aussi
$$2q^2 = p^2.$$ Autrement dit, on désire montrer que cette équation (qui est une équation diophantienne d'inconnues $p$ et $q$) ne possède pas de solution. Procédons par l'absurde en supposant avoir une telle solution $(p, q)$. On voit que $p^2$, et donc $p$ est pair, d'où on peut poser $p = 2p'$. On a alors
$$q^2 = 2p'^2.$$ Nous avons donc une nouvelle solution à l'équation de départ : $(q, p')$. Intuitivement, celle-ci est plus petite puisque l'un des deux nombres a été divisé par deux. C'est dans un tel cas qu'il faut considérer la descente infinie : quand on est capable de construire une nouvelle solution plus "petite" dans un certain sens. Ici, on peut définir $n(p, q) = p+q$ et on a, à partir d'une solution $(p, q)$, trouvé une nouvelle solution $(q, p')$ telle que $n(q, p') < n(p, q)$. On peut donc conclure comme expliqué précédemment.