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Géométrie analytique

La géométrie analytique consiste à choisir un repère (généralement orthonormé) intéressant, c'est-à-dire donner l'origine du repère et ses deux axes, et à calculer les coordonnées des points et les équations des droites et des cercles qui nous intéressent. Par exemple, s'il est demandé de prouver qu'un certain point appartient à une certaine droite, on peut être tenté de calculer les coordonnées du point, une équation de la droite et simplement montrer que les coordonnées du point vérifient l'équation.

Bien sûr, il y a souvent des libertés dans la figure et il faudra alors faire usage de paramètres pour procéder de cette façon. Si on est en présence d'un triangle $ABC$, on peut par exemple poser l'origine du repère en $A$ et pointer l'axe des abscisses vers $B$. De la sorte, les coordonnées de $A$ sont $(0,0)$, les coordonnées de $B$ sont $(b,0)$ pour un certain $b > 0$, et les coordonnées de $C$ sont $(c_1,c_2)$ pour certains $c_1, c_2$. On peut éventuellement se simplifier la vie en posant $|AB| = 1$, de sorte que $b = 1$ (mais cela présente le désavantage que les expressions ne sont alors plus homogènes, alors que cette homogénéité peut permettre de repérer ses erreurs de calcul). Si par après on considère un point $P$ quelconque sur $[AC]$, on pourra paramétrer les coordonnées de $P$ par $(\lambda \cdot c_1, \lambda \cdot c_2)$ avec $\lambda \in [0,1]$.

A priori, une telle méthode peut sembler miraculeuse, puisqu'il semble toujours possible de calculer les coordonnées de tous les points de la figure ainsi que les équations de toutes les droites. En effet, calculer l'équation de la médiatrice d'un segment ou de la médiane d'un triangle n'est pas très compliqué. Malheureusement, cela devient vite moins gai lorsque l'on est amené à calculer l'équation d'une bissectrice ou pire : l'équation d'un cercle inscrit ou circonscrit à un triangle.

Bien que théoriquement, la géométrie analytique devrait permettre de résoudre tous les problèmes existants, c'est en pratique rarement le cas. Il existe cependant certaines situations plus favorables à une solution analytique. C'est le cas lorsque la figure consiste principalement en des milieux, des perpendiculaires ou des simples droites reliant deux sommets. Dans une telle configuration, l'étudiant ne parvenant pas à fournir une solution classique ne doit donc pas hésiter à tenter la voie analytique, tout en gardant à l'esprit qu'elle peut ne pas aboutir car demande des calculs trop lourds.

Si on parvient à trouver les équations ou les coordonnées des objets sur lesquels portent la thèse, alors il reste encore à vérifier cette dernière. Si les expressions que l'on a obtenues ne sont pas trop compliquées, on peut généralement s'en sortir, mais il se peut aussi que la conclusion doive passer par la résolution d'une équation de très haut degré, auquel cas il n'est pas impossible que la solution analytique ne puisse pas terminer le problème.

Formules utiles

Étant donnée une droite du plan orthonormé, on dira que sa pente est $(v_1,v_2)$ si, lorsqu'on se déplace de $v_1$ vers la droite, on se déplace de $v_2$ vers le haut. Typiquement, si la droite passe par les deux points $A \ (a_1, a_2)$ et $B \ (b_1, b_2)$, alors sa pente est $(b_1 - a_1, b_2 - a_2)$. À noter que la pente n'est pas unique : si une droite est de pente $(v_1, v_2)$ alors on peut aussi dire qu'elle est de pente $(\lambda \cdot v_1, \lambda \cdot v_2)$ pour tout $\lambda \neq 0$.

  1. Équation de la droite de pente $(v_1, v_2)$ et passant par le point $(a_1, a_2)$ : l'idée est que si $(x,y)$ est un point de la droite, alors la pente calculée à partir de $(a_1,a_2)$ et $(x,y)$ doit être exactement $(v_1,v_2)$ (ou un multiple). L'équation de la droite est donc $\frac{x-a_1}{v_1} = \frac{y-a_2}{v_2}$. Notons cependant que cette formule n'est pas valable lorsque $v_1$ ou $v_2$ est nul. Pour avoir une formule qui est toujours valable, il suffit de réduire au même dénominateur pour obtenir $v_2(x-a_1) = v_1(y-a_2)$. Il est toutefois plus simple de retenir la première formule (puisqu'elle est intuitivement logique) et d'en déduire la deuxième.

  2. Équation d'une droite passant par $(a_1, a_2)$ et $(b_1, b_2)$ : sa pente est alors $(b_1-a_1, b_2-a_2)$ et on a donc par la formule précédente que son équation est $\frac{x-a_1}{b_1-a_1} = \frac{y-a_2}{b_2-a_2}$. Même remarque qu'au point précédent si $a_1 = b_1$ ou $a_2 = b_2$.

  3. Pente d'une droite perpendiculaire à une droite de pente $(v_1,v_2)$ : si on a une droite $d$ de pente $(v_1,v_2)$ et une droite $d'$ perpendiculaire à $d$, alors la pente de $d'$ est toujours $(v_2, -v_1)$ (ou $(-v_2, v_1)$, ce qui est pareil). On peut s'en convaincre par un dessin, ou en utilisant le produit scalaire pour ceux qui connaissent.

  4. Pente d'une droite parallèle à une droite de pente $(v_1, v_2)$ : forcément, si deux droites sont parallèles alors elles ont la même pente.

  5. Coordonnées du milieu de $A \ (a_1, a_2)$ et $B \ (b_1, b_2)$ : il suffit de faire la moyenne arithmétique des coordonnées : $M \ (\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2})$.

  6. Coordonnées du centre de gravité du triangle de sommets $A \ (a_1, a_2)$, $B \ (b_1, b_2)$ et $C \ (c_1, c_2)$ : là aussi il s'agit de la moyenne arithmétique des coordonnées : $G \ (\frac{a_1+b_1+c_1}{3}, \frac{a_2+b_2+c_2}{3})$.

  7. Distance entre deux points $A \ (a_1, a_2)$ et $B \ (b_1, b_2)$ : il s'agit juste d'une application du théorème de Pythagore, et on trouve $|AB| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}$

  8. Équation du cercle de centre $O \ (o_1, o_2)$ et de rayon $r$ : il s'agit de l'ensemble des points à distance $r$ de $O$, donc son équation est $(x-o_1)^2 + (y-o_2)^2 = r^2$ (cela découle du point 7).