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Points théoriques

Géométrie analytique BxMO 2014 Trigonométrie IMO 2009

Exercices

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Trigonométrie

Lorsqu'une égalité de longueurs doit être démontrée, il peut être tentant de se lancer dans une résolution trigonométrique du problème. L'idée est généralement de commencer par noter $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,... les différents angles de la figure (tout en essayant d'utiliser le moins de lettres possibles : une solution trigonométrique doit avant tout commencer par une chasse aux angles permettant de déterminer les relations élémentaires entre les différents angles et d'ainsi garder le moins d'inconnues possible). On essaye alors d'utiliser la trigonométrie, généralement la loi des sinus, pour obtenir des relations entre les différentes longueurs de segments. L'objectif est généralement de parvenir à réexprimer la thèse initiale en une nouvelle thèse purement trigonométrique. On peut alors typiquement arriver à une conclusion du type "Pour terminer le problème, je dois prouver que
$$\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$$ pour $\alpha$ et $\beta$ inconnus". Evidemment, obtenir une équation si simple serait une aubaine : les équations auxquelles on arrive en général peuvent être beaucoup plus compliquées. De bonnes connaissances des formules de trigonométrie pourront alors aider l'étudiant à tenter de démontrer l'équation obtenue, mais il faut là aussi garder à l'esprit qu'il n'est peut-être pas possible de le faire aisément.

Même s'il est rare que la trigonométrie permette de résoudre entièrement un problème, il est plus fréquent qu'un peu de trigonométrie soit utile à la résolution du problème. Parfois, des raisonnements classiques permettent de simplifier le problème, et il est plus facile de résoudre le problème ainsi simplifié par trigonométrie plutôt que par un nouveau raisonnement classique. Il ne faut donc pas perdre de vue cette méthode qui se révèle parfois payante, quoique là aussi peu élégante.

Formules utiles

  • Pour envisager la trigonométrie dans la résolution d'un problème, il est bien sûr primordial de maîtriser la manipulation des fonctions trigonométriques. Il faut aussi connaître toutes les formules impliquant ces fonctions. Toutes ces bases sont rappelées sur ce site dans le chapitre sur la trigonométrie.

  • La formule la plus utilisée dans une preuve par trigonométrie est la loi des sinus.