Théorie > Géométrie > Transformations du plan


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Isométries Homothéties Utilisation Droite d'Euler Cercle d'Euler

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Utilisation

Lorsque l'on est en présence d'un problème de géométrie, appliquer à tout le plan une transformation du type rotation, translation, symétrie orthogonale ou homothétie n'a pas réellement d'intérêt. En effet, une telle transformation revient juste à faire tourner la figure, la bouger ou zoomer dessus, mais cela ne va bien sûr aucunement aider à résoudre le problème.

Pour illustrer la manière dont une telle transformation peut se révéler utile, considérons le problème suivant, illustré sur la figure ci-dessous. On a trois triangles équilatéraux $ABC$, $ADE$ et $AFG$ tels que $D \in [AC]$ et $F \in [AE]$. On désire prouver que $\widehat{BDF} = \widehat{CEG}$.


Cette figure contient beaucoup d'angles de $60^\circ$, et pour cette raison il est naturel de songer à utiliser une rotation de $60^\circ$ autour de $A$. Regardons les images de certains points de la figure sous une rotation de $60^\circ$ (de sens trigonométrique) autour de $A$. On voit que l'image de $C$ est exactement $B$, l'image de $E$ est exactement $D$ et l'image de $G$ est exactement $F$. Du coup, comme une rotation est une isométrie, elle préserve les angles et on obtient directement que $\widehat{BDF} = \widehat{CEG}$ ! En fait, on a même que les triangles $BDF$ et $CEG$ sont isométriques.

Il aurait bien sûr été possible de montrer, sans utiliser de rotation, que les deux triangles $BDF$ et $CEG$ sont isométriques. Cela aurait cependant été beaucoup plus laborieux, et remarquer qu'il existe une rotation envoyant certains points sur d'autres points a ici permis de conclure très rapidement.

Cette technique peut bien sûr être utilisée avec les autres transformations du plan.