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Général

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Points théoriques

Lifting The Exponent Lemma Exemples d'application Théorème de Zsigmondy Exemples d'application Vieta Jumping

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Théorème de Zsigmondy

Nous avons vu avec le LTE comment obtenir des informations sur le nombre d'occurence des facteurs premiers de $a^n \pm b^n$ apparaissant déjà dans $a \pm b$. Le théorème de Zsigmondy s'intéresse également aux facteurs premiers de $a^n \pm b^n$, mais ceux qui ne se situent pas dans $a \pm b$. Il affirme en fait que, si $a$ et $b$ sont premiers entre eux et à part pour quelques rares exceptions, le nombre $a^n \pm b^n$ aura toujours au moins un facteur premier qui n'apparaît ni dans $a \pm b$, ni dans $a^2 \pm b^2$, ..., ni dans $a^{n-1} \pm b^{n-1}$.

Première forme

La première forme du théorème, pour $a^n - b^n$, s'énonce comme suit :

Soit $a > b$ des entiers strictement positifs premiers entre eux. Alors, à l'exception des cas particuliers suivants, pour tout entier $n \geq 2$, il existe un nombre premier $p$ (appelé facteur premier primitif) qui divise $a^n - b^n$ mais ne divise aucun $a^k - b^k$ pour $1 \leq k < n$. Les exceptions sont les suivantes :
  • Si $a+b$ est une puissance de $2$, alors l'énoncé est faux pour $n = 2$.
  • Si $a = 2$ et $b = 1$, alors l'énoncé est faux pour $n = 6$.

Une petite justification des exceptions :
  • Lorsque $a+b$ est une puissance de $2$ et $n = 2$, les facteurs premiers de $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ sont exactement ceux de $a-b$ (car le seul diviseur premier de $a+b$ est $2$, qui se trouve déjà dans $a-b$).
  • Pour $a = 2$, $b = 1$ et $n = 6$, on a $2^6 - 1^6 = 63$ qui n'a que $3$ (apparaissant déjà dans $2^2-1^2$) et $7$ (apparaissant déjà dans $2^3-1$) comme facteurs premiers.
La preuve de ce théorème est compliquée (plus difficile que le LTE : ce n'est pas pour rien que l'un s'appelle Lemme et l'autre Théorème!), elle sort du cadre de ce cours.

Deuxième forme

En ce qui concerne $a^n + b^n$, l'énoncé est le même mais il n'y a qu'une seule exception :

Soit $a > b$ des entiers strictement positifs premiers entre eux. Alors, pour tout entier $n \geq 2$ à l'exception du cas $a = 2$, $b = 1$ et $n = 3$, il existe un nombre premier $p$ (appelé facteur premier primitif) qui divise $a^n + b^n$ mais ne divise aucun $a^k + b^k$ pour $1 \leq k < n$.

L'exception est claire : on a $2^3 + 1^3 = 9$ qui n'a que $3$ comme facteur premier, apparaissant déjà dans $2^1+1^1 = 3$.

Preuve de la deuxième forme à partir de la première :
Prenons $a, b$ et $n$ comme dans l'énoncé. On cherche un facteur premier de $a^n + b^n$ n'apparaissant dans aucun $a^k + b^k$ avec $k < n$. Considérons le nombre $a^{2n} - b^{2n} = (a^n - b^n)(a^n + b^n)$. Par la première forme du théorème, il existe un nombre $p$ divisant $a^{2n} - b^{2n}$ mais ne divisant aucun $a^k - b^k$ avec $k < 2n$. En particulier, $p$ ne divise pas $a^n - b^n$. Il doit donc diviser $a^n + b^n$. D'autre part, comme $p$ ne divise aucun $a^{2k} - b^{2k}$ avec $k < n$, il ne divise aucun $a^k + b^k$ avec $k < n$.
Nous n'avons jusqu'ici pas tenu compte des exceptions lors de l'application de la première forme de Zsigmondy, donc regardons cela maintenant. La première exception apparaît si $n = 1$ (de sorte que $2n = 2$) et $a+b$ est une puissance de $2$. Mais l'énoncé du résultat ne parle que de $n \geq 2$, donc ce n'est pas un souci. La deuxième exception se présente pour $a = 2$, $b = 1$ et $n = 3$ (de sorte que $2n = 6$). C'est celle-ci qui donne lieu à l'unique exception de la deuxième forme de Zsigmondy.