Théorie > Géométrie > Rapports anharmoniques


Général

Résumé Chapitre entier

Points théoriques

Définitions Dans la nature Théorèmes de Pascal et Pappus Théorème de Desargues Plan projectif réel

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Plan projectif réel

Les énoncés des résultats de ce chapitre ne sont pas tout à fait satisfaisants. En effet, chaque énoncé requiert l'hypothèse que certaines droites ne sont pas parallèles, de sorte qu'on puisse parler de leur point d'intersection. Les choses ne seraient-elles pas plus simples dans un monde où deux droites ne sont jamais parallèles et possèdent toujours un point d'intersection ? En fait, un tel monde existe : il s'appelle le plan projectif réel !

Définition du plan projectif réel

Nous aimerions être en présence d'un plan où les deux conditions suivantes sont vérifiées :
  1. Étant donnés deux points du plan, il existe toujours une unique droite passant par ces deux points.
  2. Étant données deux droites du plan, il existe toujours un unique point appartenant à ces deux droites.
Dans le plan euclidien habituel, le point 2 n'est pas vérifié. En effet, lorsque les deux droites sont parallèles, elles ne possèdent pas de point commun. Notre but est alors de modifier légèrement le plan euclidien de sorte que le point 2 soit vérifié.

L'idée est donc de partir du plan euclidien et de lui rajouter des points (abstraits) pour que les droites parallèles aient enfin un point d'intersection. Étant donnée une "direction de droite", on va donc ajouter un point "à l'infini dans cette direction" et dire que toutes les droites dans cette direction passent par ce point ! (On dit que deux droites ont la même direction lorsqu'elles sont parallèles.) Étant données deux droites, on a donc deux possibilités :
  • soit elles sont sécantes (dans le plan euclidien habituel) et elles ont pour point commun leur point d'intersection habituel,
  • soit elles sont parallèles, et elles ont alors pour point commun le point à l'infini dans la direction qu'elles définissent.
À noter que deux droites qui ne sont pas parallèles possèdent chacune un point à l'infini, mais ceux-ci sont différents puisque les deux droites n'ont pas la même direction.

Il y a cependant un petit souci dans la modification que nous avons apportée au plan euclidien. En effet, nous avons fait en sorte que le point 2 ci-dessus soit vérifié, c'est-à-dire que deux droites possèdent toujours un unique point d'intersection, mais le point 1 n'est maintenant plus vérifié ! En effet, nous avons introduit de nouveaux points, et si nous considérons maintenant deux points à l'infini (dans des directions différentes), alors il n'existe pour le moment aucune droite passant par ces deux points ! Pour régler ce problème, on est dans l'obligation de rajouter une nouvelle droite à notre plan, appelée la "droite à l'infini". Par définition, cette droite à l'infini passe par tous les points à l'infini (et elle ne passe par aucun point du plan euclidien habituel). Grâce à cette nouvelle droite, le point 1 est maintenant à nouveau vérifié, et on peut voir que le point 2 reste également vrai.

Pour résumer, les points et les droites du plan projectif réel sont les suivants :
  • Les points du plan projectif réel sont les points du plan euclidien + pour chaque direction de droite, un point à l'infini dans cette direction.
  • Les droites du plan projectif réel sont les droites du plan euclidien + la droite à l'infini, qui passe par tous les points à l'infini.
Évidemment tout n'est pas rose dans le plan projectif réel : cela devient par exemple compliqué de parler de distances. En général, lorsqu'on travaille dans le plan projectif, on se contente de regarder les points, les droites, et quels points sont sur quelles droites.

En pratique

Lorsqu'on se place dans le plan projectif réel, la plupart des énoncés deviennent plus simples (et parfois même plus généraux).

  • Étant donnés deux points $C, D$, on a vu que $X \mapsto r_{DC}(X)$ définissait une bijection entre les points de $CD$ différents de $C$ et $D$ et les réels non-nuls et différents de $1$. Si $P$ désigne le point à l'infini de $CD$, il est en fait naturel de définir $r_{DC}(P) = 1$. Le rapport anharmonique $(A,B;C,D)$ est alors également défini lorsqu'un des points $A, B, C, D$ est le point à l'infini de la droite considérée. (S'il s'agit de $A$ ou $B$ on utilise que $r_{DC}(P) = 1$ ; s'il s'agit de $C$ ou $D$ on peut utiliser que $(A,B;C,D) = (C,D;A,B)$ et se ramener au cas précédent.) De cette manière, le milieu $M$ de $[CD]$ dont on avait dit qu'il n'avait pas de conjugué harmonique (par rapport à $C,D$) en a maintenant un : il s'agit du point $P$ à l'infini de $CD$. On peut voir que les différents résultats concernant les rapports anharmoniques restent vrais avec cette convention.

  • Pour définir le rapport anharmonique de $4$ droites concourantes en $O$, on considérait une autre droite ne passant pas par $O$ et sécante aux $4$ droites. Cette deuxième condition n'est maintenant plus nécessaire : on peut prendre n'importe quelle droite ne passant pas par $O$. Si elle est parallèle à l'une des quatre droites, alors son intersection avec celle-ci est son point à l'infini.

  • Dans notre exemple des points d'intersection des quatre tangentes à deux cercles, on supposait que les deux cercles avaient des rayons différents. En fait, si les cercles ont même rayon, alors les points d'intersection $X$ et $Y$ sont respectivement le point à l'infini de $OO'$ et le milieu de $[OO']$. Le résultat est donc toujours vrai : les points $X$ et $Y$ sont conjugués harmoniques par rapport à $O,O'$.

  • Dans tous les résultats où on demandaient que des droites ne soient pas parallèles, on peut supprimer cette hypothèse. Par exemple :

    • Le théorème de Pascal peut s'énoncer comme suit :

      Soit $ABCDEF$ un hexagone inscrit à un cercle. Désignons par $X$ l'intersection des côtés opposés $AB$ et $DE$, par $Y$ l'intersection des côtés opposés $BC$ et $EF$, et par $Z$ l'intersection des côtés opposés $CD$ et $FA$. Alors $X$, $Y$ et $Z$ sont alignés.

      Les points $X$, $Y$ et/ou $Z$ peuvent en fait être des points à l'infini. Par exemple, si $X$ est un point à l'infini et $Y$ et $Z$ sont des points "normaux", alors dire que $X, Y, Z$ sont alignés signifie que la direction de $YZ$ est donnée par le point à l'infini $X$. Autrement dit, dans ce cas les droites $AB$ et $DE$ sont parallèles (d'intersection $X$ à l'infini), et le fait que $Y$ et $Z$ sont alignés avec $X$ signifie que $YZ$ est parallèle à $AB$ et $DE$. Notre nouvel énoncé du théorème de Pascal est donc plus général puisqu'il traite également des cas où certains côtés sont parallèles.

    • De même, dans le théorème de Pappus on peut enlever la condition "pourvu que les intersections existent" :

      Soit $A, B, C$ trois points alignés, et $A', B', C'$ trois autres points alignés. Désignons par $X$ l'intersection de $BC'$ et $B'C$, par $Y$ l'intersection de $AC'$ et $A'C$, et par $Z$ l'intersection de $AB'$ et $A'B$. Alors $X$, $Y$ et $Z$ sont alignés.

      Là aussi les points $X$, $Y$ et/ou $Z$ peuvent être des points à l'infini.

    • Le théorème de Desargues n'a également pas besoin de toutes les hypothèses que nous avons données précédemment :

      Soit $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles. Soit $P$ l'intersection de $BC$ et $B'C'$, $Q$ l'intersection de $AC$ et $A'C'$, et $R$ l'intersection de $AB$ et $A'B'$. Alors les points $P, Q, R$ sont alignés si et seulement si les droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$ sont concourantes.

      Nous avons ici remplacé la fin "concourantes ou parallèles" par simplement "concourantes". En effet, dans le plan projectif trois droites parallèles sont concourantes puisqu'elles s'intersectent en leur point à l'infini !

Attention : Sauf mention explicite du contraire, nous ne supposons jamais sur ce site être dans le plan projectif réel ! En particulier, nous considérons toujours que deux droites parallèles ne s'intersectent pas.