Théorie > Équations fonctionnelles > Introduction aux équations fonctionnelles

Définition et exemples

Rappelons que, lorsque $A$ et $B$ sont deux ensembles, une fonction $f:A \to B$ associe à chaque élément $a \in A$ un unique élément $f(a) \in B$.

Une équation fonctionnelle est un problème où l'on doit trouver toutes les fonctions $f: A \to B$ satisfaisant une certaine propriété. En d'autres termes, pour chaque $a \in A$, nous devons trouver la valeur de $f(a)$.

Exemple 1 : Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

Exemple 2 : Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x+y$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

Exemple 3 : Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{Q}$.

Nous reviendrons sur ces exemples plus tard.