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Deviner les solutions

Une autre étape éventuelle dans la résolution d'équations fonctionnelles est d'essayer d'en deviner les solutions. Il suffit pour cela d'essayer les fonctions les plus courantes et de regarder si elles vérifient ou non l'équation. Voici une liste des fonctions qui se révèlent souvent être solutions d'équations fonctionnelles :

  • $f(x) = 0$, ou plus généralement $f(x) = c$ pour une certaine constante $c$,

  • $f(x) = x$, $f(x) = -x$, ou plus généralement $f(x) = ax$ pour une certaine constante $a$,

  • $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x},$

  • $\ldots$
Evidemment, la forme de l'équation permet généralement de deviner quelles fonctions tester. Il se peut aussi qu'une équation fonctionnelle ne possède aucune solution!

Revenons à nos exemples :

  1. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

    En testant les différentes fonctions données dans la liste précédente, on voit que $f(x) = x$ fonctionne et il ne semble pas y avoir d'autres solutions.

  2. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x+y$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

    Aucune des fonctions de la liste ne semble convenir : il est probable que cette équation n'ait aucune solution.

  3. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{Q}$.

    On constate que pour tout $a \in \mathbb{R}$, la fonction $f(x) = ax$ est solution de l'équation.

Même si deviner les solutions d'une équation ne rapporte généralement pas de points en compétition, cette étape est souvent utile puisqu'elle permet de se faire une intuition du problème. D'autre part, la connaissance des solutions peut influencer le raisonnement et donner des idées quant à comment résoudre l'équation. Par exemple, si la fonction $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ semble être l'unique solution d'une équation, alors poser $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)}$ peut parfois être une bonne idée (pourvu que l'on sache que $f(x) \neq 0$ pour tout $x$). En effet, il faut alors montrer que $g(x) = x$ est l'unique solution de la nouvelle équation, ce qui est généralement plus simple.