Théorie > Équations fonctionnelles > Injectivité et surjectivité


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Injectivité Surjectivité Bijectivité

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7

Injectivité

Supposons que lors de la résolution d'un problème, on tombe sur une équation du type $f(f(x))=f(2x)$. Il serait fort tentant de "simplifier les $f$" pour obtenir $f(x)=2x$ et finir ainsi le problème. Malheureusement, rien ne nous dit que $f(x)$ et $2x$ ne sont pas deux réels différents, envoyés sur la même valeur par $f$. Il ne nous est donc pas permis de supprimer les $f$, à moins que la fonction $f$ soit injective :

On dit qu'une fonction $f : A \to B$ est injective si pour tous $a,a' \in A$ tels que $f(a)=f(a')$, on a $a=a'$.

Exemples :

  1. La fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2$ n'est pas injective. En effet, $f(-1)=1=f(1)$ mais $-1 \neq 1$.

  2. La fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto 2x$ est injective. En effet, si $2x=2y$, alors $x=y$.

  3. La fonction $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+: x \mapsto x^2$ est injective. En effet, si $x^2=y^2$ avec $x,y \in \mathbb{R}^+$, alors $x=y$.

Application aux équations fonctionnelles

Dans un problème concret, si on a l'impression que toutes les solutions sont injectives, on peut alors essayer de le prouver. Pour ce faire, on prend $a,a' \in A$ tels que $f(a)=f(a')$ et on essaye de prouver $a=a'$. Si on y parvient, alors cela signifiera que toutes les solutions de l'équation sont injectives, et on pourra alors par la suite "simplifier par $f$" si cela se révèle utile dans la suite du raisonnement.

Exemple : Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(f(x)^2+y)=2xy^2$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

Dans cet exemple, on peut montrer que $f$ doit être injective. En effet, en remplaçant $y$ par $1$, on obtient : $f(f(x)^2+1)=2x$. Maintenant, si $a,a' \in \mathbb{R}$ sont tels que $f(a)=f(a')$, alors $2a=f(f(a)^2+1)=f(f(a')^2+1)=2a'$. Donc $a=a'$ et $f$ est injective.