Introduction
Le théorème de Bézout permet de répondre à la question :
Par exemple, quels nombres peuvent s'écrire comme $15 x + 20 y$ ? Sur cet exemple, on remarque directement qu'il ne sera pas possible de former un nombre qui n'est pas un multiple de $5$. Et il s'agit là d'un fait général ! À partir des nombres $a$ et $b$, tous les nombres de la forme $ax + by$ seront forcément multiples de $(a,b)$ (le PGCD de $a$ et $b$), puisque ce dernier divise $a$ et $b$. Ici, $(15,20) = 5$ donc ils seront tous multiples de $5$.
Le théorème de Bézout permet d'établir qu'il s'agit en fait d'un si et seulement si : tout nombre multiple de $(a,b)$ peut s'écrire sous la forme $a x+b y$.