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Général

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Points théoriques

Introduction Théorème de Bézout Théorème de Gauss

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Introduction

Le théorème de Bézout permet de répondre à la question :

Etant donnés $a$ et $b$ deux nombres naturels (non-nuls), quels nombres entiers peuvent s'écrire sous la forme $$a x+b y$$ avec $x,y \in \mathbb{Z}$ ?

Par exemple, quels nombres peuvent s'écrire comme $15 x + 20 y$ ? Sur cet exemple, on remarque directement qu'il ne sera pas possible de former un nombre qui n'est pas un multiple de $5$. Et il s'agit là d'un fait général! A partir des nombres $a$ et $b$, tous les nombres de la forme $ax + by$ seront forcément multiples de $(a,b)$ (le PGCD de $a$ et $b$), puisque ce dernier divise $a$ et $b$. Ici, $(15,20) = 5$ donc ils seront tous multiples de $5$.

Le théorème de Bézout permet d'établir qu'il s'agit en fait d'un si et seulement si : tout nombre multiple de $(a,b)$ peut s'écrire sous la forme $a x+b y$.