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Introduction Théorème de Bézout Théorème de Gauss

Exercices

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Théorème de Gauss

Le théorème de Gauss (parfois appelé lemme de Gauss) est le suivant :

Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls. Si $c$ est premier avec $a$ et $c$ divise $ab$, alors $c$ divise $b$.

Par exemple, ce théorème nous indique que si $10$ divise un produit $ab$ alors que $a$ n'est divisible ni par $2$ ni par $5$, alors $b$ est forcément multiple de $10$.

Remarque importante :
Ce théorème peut paraître tout à fait évident à démontrer, notamment en utilisant la décomposition en facteurs premiers des nombres $a$, $b$ et $c$. Cela dit, nous n'avions pas prouvé l'existence et l'unicité de cette décomposition et il se fait que le théorème de Gauss intervient dans la démonstration de l'unicité! Nous vous avions présenté ce résultat en premier lieu pour des raisons pédagogiques, mais il devrait d'un point de vue logique se situer après le théorème de Gauss. Il n'est dès lors pas raisonnable d'utiliser la décomposition des nombres pour démontrer notre théorème!

Démonstration :
Une jolie façon de faire est d'utiliser le théorème de Bézout que nous venons de démontrer (notez que nous n'avions pour ce faire pas utilisé le théorème de décomposition en facteurs premiers).
Nous savons par hypothèse que $c$ divise $ab$. Il existe donc un nombre entier $k$ tel que $ck = ab$. De plus, $c$ est premier avec $a$, c'est-à-dire $(a,c) = 1$. Nous pouvons dès lors appliquer le théorème de Bézout qui nous fournit $x$ et $y$ entiers tels que
$$ax+cy = 1.$$ On multiplie les deux membres par $b$, ce qui nous permet d'écrire
$$\begin{align}
& abx + cby = b\\
\Leftrightarrow \quad & ckx + cby = b\\
\Leftrightarrow \quad & c(kx+by) = b
\end{align}$$ Et on voit donc directement que $c$ divise bien $b$.

Lemme d'Euclide

Le lemme d'Euclide est un cas particulier de celui de Gauss :

Soient $a$ et $b$ des nombres naturels non nuls et $p$ un nombre premier. Si $p$ divise $ab$, alors $p$ divise $a$ ou $b$.

Démonstration : Supposons que $p$ ne divise pas $a$. Alors, $(a,p) = 1$ et le théorème de Gauss nous indique immédiatement que $p$ divise $b$.

Remarque (suite)

C'est en fait ce cas particulier du théorème de Gauss qui permet de prouver l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. En effet, si le nombre $n$ possède deux décompositions
$$p_1^{e_1}\cdot \ldots \cdot p_k^{e_k} = q_1^{f_1} \cdot \ldots \cdot q_l^{f_l}$$ alors $p_1$ divise $q_1^{f_1} \cdot \ldots \cdot q_l^{f_l}$ et le lemme d'Euclide appliqué plusieurs fois nous indique qu'il existe un des $q_i$ qui soit divisible par $p_1$, et donc égal à celui-ci. On peut alors diviser le premier membre par $p_1$ et le deuxième par $q_i$ tout en gardant l'égalité. En continuant de la sorte, on trouve finalement que les facteurs (et les exposants) doivent forcément être identiques dans les deux décompositions.