Théorie > Géométrie

Introduction

La géométrie se distingue réellement de tous les autres sujets mathématiques et il est pour cela de coutume que deux des six problèmes de l'Olympiade Mathématique Internationale soient des problèmes de géométrie. Pour résoudre ces problèmes, il faut allier intuition, entraînement, et connaissance des résultats fondamentaux et plus avancés. Cette section regroupe des chapitres permettant de s'améliorer dans tous ces domaines.

Chapitres

L'accès aux exercices d'un chapitre est autorisé à partir du moment où ses chapitres prérequis ont été complétés, c'est-à-dire quand tous les exercices de ceux-ci ont été résolus.

Angles

La première étape dans tout problème de géométrie est la chasse aux angles, consistant à repérer les angles ayant des amplitudes égales ou ayant un lien intéressant. Pour ce faire, il est primordial de connaître toutes les égalités remarquables concernant les angles, comme les angles alternes-internes ou les angles interceptant un même arc dans un cercle. Il s'agit de notions très basiques mais dont on ne peut se passer lors de la résolution d'un problème de géométrie.

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Exercices

Triangles

L'objet le plus souvent étudié en géométrie est le triangle : il est fréquent qu'un problème commence par la donnée d'un triangle $ABC$. Afin d'aborder au mieux ce type de problème, il est bon de connaître sur le bout des doigts les propriétés des triangles. Nous passons ici en revue les plus fondamentales.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Angles

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Exercices

Quadrilatères cycliques

La notion de quadrilatère cyclique est fondamentale en géométrie. La découverte d'un tel quadrilatère dans la figure associée à un problème est souvent un grand pas en avant vers sa résolution. Nous expliquons dans ce chapitre comment repérer un quadrilatère cyclique et comment utiliser par la suite cette information.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Angles

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Exercices

Puissances de points

Nous présentons ici la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle. Celle-ci joue un rôle dans la résolution de nombreux problèmes de géométrie, c'est pourquoi il faut toujours envisager cette piste, qu'elle soit suggérée par l'énoncé ou non, lorsqu'on essaye de résoudre un problème.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Quadrilatères cycliques

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Exercices

Rapports de section

Nous introduisons dans ce chapitre les rapports de section. Nous énonçons ensuite en termes de ceux-ci les théorèmes de Ceva et de Ménélaüs, constituant des armes redoutables pour montrer que trois droites sont concourantes ou que trois points sont alignés.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Triangles

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Exercices

Transformations du plan

Les transformations du plan classiques, à savoir les symétries, rotations, translations et homothéties, peuvent être très utiles dans la résolution d'un problème. Les homothéties permettent notamment de montrer des résultats a priori bien compliqués, comme l'existence de la droite d'Euler et du cercle d'Euler dans un triangle.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Quadrilatères cycliques - Triangles

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Exercices

Solutions non classiques

La géométrie analytique et la trigonométrie peuvent permettre de résoudre certains problèmes de manière moins conventionnelle. Les solutions obtenues sont alors assez laborieuses, c'est pourquoi il ne faut envisager ces méthodes qu'en dernier recours.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Triangles

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Exercices

Triangles (suite)

Un certain nombre de résultats concernant les triangles ont été précédemment présentés. Nous donnons ici quelques résultats plus avancés dont les démonstrations font intervenir les quadrilatères cycliques et les puissances de points.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Puissances de points - Rapports de section

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Exercices

Inversion et polarisation

L'inversion est une transformation du plan particulière qui transforme les droites en cercles, et réciproquement. Il s'agit d'un outil très puissant qui permet parfois de venir facilement à bout de problèmes a priori fort compliqués. Nous nous en servons notamment pour montrer les deux implications du théorème de Ptolémée. La polarisation, quant à elle, est liée à l'inversion et associe à tout point du plan une droite (et réciproquement). Maîtriser les propriétés des polarisations peut également permettre de faciliter des preuves, comme nous l'illustrons dans ce chapitre sur deux exemples concrets.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Transformations du plan - Puissances de points

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Exercices

Cercles d'Apollonius

Étant donné un triangle, on peut définir trois cercles particuliers associés à celui-ci, appelés cercles d'Apollonius. Ceux-ci ont des propriétés intéressantes et sont par exemple étroitement liés à la notion de triangle podaire. Connaître l'existence de ces cercles ainsi que leurs propriétés peut être d'une grande aide dans la résolution de problèmes, qu'ils soient basiques ou avancés.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Triangles (suite)

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