Théorie > Théorie des nombres

Introduction

La théorie des nombres est la partie des mathématiques qui s'intéresse aux propriétés des nombres entiers, ou plus précisément à la notion de divisibilité. Il s'agit d'une section assez théorique, en ce sens qu'il existe un certain nombre de notions et résultats importants à maîtriser pour pouvoir attaquer les problèmes les plus compliqués. Tout cela est présenté dans les différents chapitres de cette section.

Chapitres

L'accès aux exercices d'un chapitre est autorisé à partir du moment où ses chapitres prérequis ont été complétés, c'est-à-dire quand tous les exercices de ceux-ci ont été résolus.

Divisibilité et nombres premiers

La division est l'ingrédient principal de la théorie des nombres, et c'est sur cette notion que nous nous penchons ici. À l'aide de quelques formules connues, nous montrons qu'il est déjà possible sans nouvelle théorie de résoudre des problèmes non évidents de théorie des nombres. Il est en effet souvent possible de conclure avec un peu de logique et quelques distinctions de cas. La résolution de problèmes plus avancés commencera aussi avant tout par de telles méthodes.

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Exercices

Algorithme d'Euclide

Les notions de plus grand commun diviseur (PGCD) et plus petit commun multiple (PPCM) sont fondamentales en théorie des nombres, et ce chapitre commence par leur définition. Nous présentons ensuite l'algorithme d'Euclide permettant justement de calculer le PGCD de deux nombres entiers, aussi grands soient-ils. Outre cette possibilité, cet algorithme est également très utile d'un point de vue théorique. En effet, il nous permettra notamment par la suite de démontrer le théorème de Bézout et de calculer l'inverse d'un nombre en arithmétique modulaire.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Divisibilité et nombres premiers

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Arithmétique modulaire

Dans ce chapitre, la notion de modulo est introduite. Bien qu'il s'agisse a priori d'une simple notation, cet outil se révèlera en fait très puissant et incontournable en théorie des nombres. Il est important de bien maîtriser cet outil, c'est pourquoi nous ne présentons ici que peu de théorie mais donnons plusieurs exemples détaillés de bonnes utilisations des modulos.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Divisibilité et nombres premiers

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Exercices

Théorème de Bézout

Le théorème de Bézout est très important en théorie des nombres et est utilisé dans de nombreux résultats plus avancés. Après l'avoir énoncé et démontré, nous verrons immédiatement son intérêt en l'utilisant pour prouver le théorème de Gauss.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Algorithme d'Euclide

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Exercices

Équations diophantiennes

Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers dont on cherche des solutions entières. Dans ce chapitre, nous étudions deux équations diophantiennes particulières, à savoir l'équation de Pythagore et l'équation de Pell. La méthode de la descente infinie, permettant de résoudre certaines équations de ce type, est également expliquée.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Théorème de Bézout - Arithmétique modulaire

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Équations modulaires

Après avoir défini la notion d'inverse modulo $n$ et s'être penché sur le sujet, nous apprendrons comment résoudre une équation linéaire (modulo $n$) et ensuite un système de telles équations. Le théorème des restes chinois qui nous permettra de traiter ce dernier point est aussi essentiel d'un point de vue théorique et permet parfois la résolution de problèmes plus complexes.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Arithmétique modulaire - Théorème de Bézout

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Théorème d'Euler-Fermat

On est très vite amené, en théorie des nombres, à observer des puissances modulo un certain nombre. On peut par exemple se demander quel est le dernier chiffre du nombre $2013^{2013}$, ce qui revient à vouloir déterminer sa valeur modulo $10$. Le théorème d'Euler, dont un cas particulier est celui de Fermat, permet de répondre très facilement à cette question. Il s'agit d'un théorème fondamental : s'il ne fallait en retenir qu'un en théorie des nombres, ce serait certainement celui-là.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Équations modulaires

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Exercices

Divers résultats et méthodes

Le "Lifting The Exponent Lemma" (LTE) et le théorème de Zsigmondy sont des résultats puissants qui s'intéressent aux facteurs premiers des expressions $a^n + b^n$ et $a^n - b^n$. Ils permettent parfois de résoudre de manière très simple des problèmes qui ne le sont pourtant pas. De manière similaire, la méthode "Vieta jumping" a récemment vu le jour et est vite devenue fondamentale dans le domaine de la résolution de problèmes de théorie des nombres.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Théorème d'Euler-Fermat - Équations diophantiennes

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Exercices

Résidus quadratiques

On dit d'un nombre $a \in \{1, \ldots, p-1\}$ qu'il est résidu quadratique modulo $p$ s'il existe un carré parfait congru à $a$ modulo $p$. Dans ce chapitre, nous donnons une façon de déterminer si un nombre est résidu quadratique modulo $p$ ou non à l'aide du symbole de Legendre. La notion de racine primitive modulo $p$ est également introduite.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Théorème d'Euler-Fermat

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